2015-重庆卷文-14 填-基本不等式

本题导读

本题考查无理式求最值问题，可借助平方放大或柯西不等式进行高效求解。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 设 $a,b>0,a+b=5$，则 $\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $t=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}$ ($t>0$)。
2. 对 $t$ 进行平方可得 $t^2=(a+1)+(b+3)+2\sqrt{(a+1)(b+3)}$。
3. 代入 $a+b=5$ 得 $t^2=9+2\sqrt{(a+1)(b+3)}$。
4. 利用基本不等式放缩 $\sqrt{(a+1)(b+3)}⩽\frac{(a+1)+(b+3)}{2}$ 求解最大值。

✅【答案】

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故答案为：$3\sqrt{2}$（或 $\sqrt{18}$）

✍【详细解析】

Abstract

方法一（平方放缩）： 设 $u=\sqrt{a+1}+\sqrt{b+3}$ ($u>0$)，两边平方得： $u^2=(a+1)+(b+3)+2\sqrt{(a+1)(b+3)}=a+b+4+2\sqrt{(a+1)(b+3)}$ 已知 $a+b=5$，则： $u^2=9+2\sqrt{(a+1)(b+3)}$ 由基本不等式可得： $\sqrt{(a+1)(b+3)}⩽\frac{(a+1)+(b+3)}{2}=\frac{a+b+4}{2}=\frac{9}{2}$ 因此： $u^2⩽9+2\times \frac{9}{2}=18$ 开方得 $u⩽\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。 当且仅当 $a+1=b+3$ 且 $a+b=5$，即 $a=\frac{7}{2},b=\frac{3}{2}$ 时等号成立。

方法二（柯西不等式）： 由二维柯西不等式 $(x_1{y}_1+x_2{y}_2{)}^2⩽(x_1^2+x_2^2)(y_1^2+y_2^2)$ 得： $(\sqrt{a+1}\cdot 1+\sqrt{b+3}\cdot 1{)}^2⩽[(a+1)+(b+3)](1^2+1^2)=(a+b+4)\times 2=9\times 2=18$ 两边开方可得最大值为 $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$。

故答案为：$3\sqrt{2}$（或 $\sqrt{18}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：算术均值-几何均值不等式（均值不等式）与柯西不等式的灵活应用。
2. 核心方法：对于根号相加型式子求最值，常用“先平方再放缩”或“柯西不等式”法。
3. 避坑指南：必须验证等号成立的条件（$a=3.5>0,b=1.5>0$ 满足条件）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自选修 4-5 不等式选讲中的 Cauchy 不等式与基本不等式综合练习。
2. 结论推广：若 $\sum x_i=C$，则 $\sum \sqrt{x_i+c_i}⩽\sqrt{n(C+\sum c_i)}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-3
• 2011-重庆卷理-07
• 2014-重庆卷理-12 填-对数运算与对数函数