2015-重庆卷文-19 解-导数极值

本题导读

本题考查利用导数求三次函数的参数值，以及含指数函数的复合函数单调性讨论。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 已知函数 $f(x)=a{x}^3+x^2(a\in \mathbb{R})$ 在 $x=-\frac{4}{3}$ 处取得极值.

(1) 确定 $a$ 的值；

(2) 若 $g(x)=f(x){\mathrm{e}}^x$，讨论 $g(x)$ 的单调性.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求导 $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2x$。由 $f^{\prime }\left(-\frac{4}{3}\right)=0$ 解出 $a$，并验证极值点成立条件。
2. 第二问：将 $a$ 代入得 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+x^2$，算出 $g(x)=\left(\frac{1}{2}{x}^3+x^2\right){\mathrm{e}}^x$。使用乘法求导法则求 $g^{\prime }(x)$，因式分解后确定 $g^{\prime }(x)$ 的符号变化，划分区间讨论单调性。

✅【答案】

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综上所述，$g(x)$ 的单调性为： - $g(x)$ 在区间 $(-\infty ,-4)$ 和 $(-1,0)$ 上单调递减； - $g(x)$ 在区间 $(-4,-1)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调递增

✍【详细解析】

Abstract

(1) 对 $f(x)$ 求导得： $f^{\prime }(x)=3a{x}^2+2x$ 因为 $f(x)$ 在 $x=-\frac{4}{3}$ 处取得极值，所以 $f^{\prime }\left(-\frac{4}{3}\right)=0$，即： $3a{\left(-\frac{4}{3}\right)}^2+2\left(-\frac{4}{3}\right)=0⟹3a\times \frac{16}{9}-\frac{8}{3}=0⟹\frac{16}{3}a=\frac{8}{3}⟹a=\frac{1}{2}$

当 $a=\frac{1}{2}$ 时，$f^{\prime }(x)=\frac{3}{2}{x}^2+2x=x\left(\frac{3}{2}x+2\right)$。

• 当 $x\in \left(-\infty ,-\frac{4}{3}\right)$ 时，$f^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in \left(-\frac{4}{3},0\right)$ 时，$f^{\prime }(x)<0$。 此时 $x=-\frac{4}{3}$ 为极大值点，符合题意。

故 $a=\frac{1}{2}$。

(2) 由 (1) 知 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^3+x^2$，则： $g(x)=\left(\frac{1}{2}{x}^3+x^2\right){\mathrm{e}}^x$ 对 $g(x)$ 求导得： $g^{\prime }(x)=\left(\frac{3}{2}{x}^2+2x\right){\mathrm{e}}^x+\left(\frac{1}{2}{x}^3+x^2\right){\mathrm{e}}^x=\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{5}{2}{x}^2+2x\right){\mathrm{e}}^x=\frac{1}{2}x(x^2+5x+4){\mathrm{e}}^x$ 因式分解得： $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}x(x+1)(x+4){\mathrm{e}}^x$

因为对任意 $x\in \mathbb{R}$，${\mathrm{e}}^x>0$，所以 $g^{\prime }(x)$ 的符号由 $x(x+1)(x+4)$ 决定。 令 $g^{\prime }(x)=0$，解得根为 $x_1=-4,x_2=-1,x_3=0$。

列表或利用穿针引线法判断 $g^{\prime }(x)$ 的符号变化：

• 当 $x\in (-\infty ,-4)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$；
• 当 $x\in (-4,-1)$ 时，$g^{\prime }(x)>0$；
• 当 $x\in (-1,0)$ 时，$g^{\prime }(x)<0$；
• 当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$g^{\prime }(x)>0$。

综上所述，$g(x)$ 的单调性为：

• $g(x)$ 在区间 $(-\infty ,-4)$ 和 $(-1,0)$ 上单调递减；
• $g(x)$ 在区间 $(-4,-1)$ 和 $(0,+\infty )$ 上单调递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数与极值关系（$f^{\prime }(x_0)=0$ 是极值点的必要条件），以及乘法求导法则与高次导数不等式解法。
2. 核心方法：求导因式分解法（提取指数项 ${\mathrm{e}}^x$ 后对多项式因式分解）。
3. 避坑指南：
   • 第一问利用 $f^{\prime }(x_0)=0$ 求出 $a$ 后，需注意“导数为零只是极值点的必要非充分条件”，理论上需要检验导函数符号在 $x_0$ 两侧是否发生改变。
   • 单调区间写成集合或区间形式，多个区间用“和”或“，”连接，不能用“$\cup$”连接。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自选修 2-2 导数及其应用章节的典型导数应用解答题，考查导数符号判定与多项式因式分解能力。
2. 结论推广：形如 $g(x)=P(x){\mathrm{e}}^x$（其中 $P(x)$ 为多项式）的函数求导后为 $g^{\prime }(x)=[P^{\prime }(x)+P(x)]{\mathrm{e}}^x$，其单调区间拐点完全取决于多项式方程 $P^{\prime }(x)+P(x)=0$ 的实根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-20 解-切线斜率
• 2014-重庆卷理-22 解-构造新数列求通项
• 2013年重庆卷理-17