2015-重庆卷文-20 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间线面垂直的证明及几何体体积的计算，重点在于利用面面垂直的性质与平行线传递垂直关系。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，$\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，点 $D,E$ 在线段 $AC$ 上，且 $AD=DE=EC=2$，$PD=PC=4$，点 $F$ 在线段 $AB$ 上，且 $EF\parallel BC$.

(1) 证明：$AB\perp$ 平面 $PFE$；

(2) 若四棱锥 $P-DFBC$ 的体积为 $7$，求线段 $BC$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：在 $△PDC$ 中，由 $PD=PC=4,DE=EC=2$ 得 $PE\perp AC$。再由平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$ 推得 $PE\perp$ 平面 $ABC$，从而 $PE\perp AB$。结合 $EF\parallel BC⟹AB\perp EF$，即可证得 $AB\perp$ 平面 $PFE$。
2. 第二问：作高 $PE$，先在 $△PEC$ 中计算高 $PE=\sqrt{P{C}^2-E{C}^2}=2\sqrt{3}$。四棱锥 $P-DFBC$ 的体积为 $V_{P-ABC}-V_{P-ADE}$。根据面积比例关系表示出底面积，建立关于 $BC$ 的方程求解。

✅【答案】

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若题目隐含条件或常规求解取 $BC$ 的较短/标准值： 解得 $BC=3$ 或 $BC=3\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 在 $△PDC$ 中，因为 $PD=PC=4$，且 $E$ 是 $DC$ 的中点（$DE=EC=2$）， 所以 $PE\perp AC$。

又因为平面 $PAC\perp$ 平面 $ABC$，平面 $PAC\cap$ 平面 $ABC=AC$，$PE\subset$ 平面 $PAC$， 所以 $PE\perp$ 平面 $ABC$。 因为 $AB\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PE\perp AB$。

在 $△ABC$ 中，因为 $\angle ABC=\frac{\pi }{2}$，即 $AB\perp BC$， 又已知 $EF\parallel BC$，所以 $AB\perp EF$。

因为 $PE\cap EF=E$，$PE,EF\subset$ 平面 $PFE$， 所以 $AB\perp$ 平面 $PFE$。

(2) 解： 在 Rt$△PEC$ 中，$PC=4,EC=2$，则： $PE=\sqrt{P{C}^2-E{C}^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$ 即三棱锥 $P-ABC$ 的高为 $PE=2\sqrt{3}$。

因为 $AD=DE=EC=2$，所以 $AC=6$，$AE=4$。 由 $EF\parallel BC$ 得 $△AEF\sim △ACB$，相似比为 $\frac{AE}{AC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。

设 $BC=x$，在 Rt$△ABC$ 中，$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{36-x^2}$。 $△ABC$ 的面积为： $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}x\sqrt{36-x^2}$

因为 $D$ 是 $AE$ 的中点（$AD=DE=2$），且 $S_{△AEF}={\left(\frac{2}{3}\right)}^2{S}_{△ABC}=\frac{4}{9}{S}_{△ABC}$， 所以 $△ADE$ 的面积为： $S_{△ADE}=\frac{1}{2}{S}_{△AEF}=\frac{2}{9}{S}_{△ABC}$

四边形 $DFBC$ 的面积为： $S_{DFBC}=S_{△ABC}-S_{△ADE}=\left(1-\frac{2}{9}\right)S_{△ABC}=\frac{7}{9}{S}_{△ABC}$

四棱锥 $P-DFBC$ 的体积为： $V_{P-DFBC}=\frac{1}{3}{S}_{DFBC}\cdot PE=\frac{1}{3}\times \left(\frac{7}{9}{S}_{△ABC}\right)\times 2\sqrt{3}=7$

代入 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}x\sqrt{36-x^2}$ 得： $\frac{1}{3}\times \frac{7}{9}\times \left(\frac{1}{2}x\sqrt{36-x^2}\right)\times 2\sqrt{3}=7$ $\frac{\sqrt{3}}{27}x\sqrt{36-x^2}=1⟹x\sqrt{36-x^2}=9\sqrt{3}$

两边平方得： $x^2(36-x^2)=243⟹x^4-36x^2+243=0$ 解方程得： $(x^2-9)(x^2-27)=0⟹x^2=9\text{ 或 }{x}^2=27$

因为 $x=BC<AC=6$，且当 $x^2=27$ 时，$x=3\sqrt{3}$，此时 $AB=\sqrt{36-27}=3$，满足题意； 当 $x^2=9$ 时，$x=3$，此时 $AB=\sqrt{36-9}=3\sqrt{3}$，满足题意。 （两根均使得 $BC<6$ 且为合法边长解）。

若题目隐含条件或常规求解取 $BC$ 的较短/标准值： 解得 $BC=3$ 或 $BC=3\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的性质定理（$PE\perp \text{交线}⟹PE\perp \text{底面}$）、线面垂直的判定定理。
2. 核心方法：底面积分割法（通过相似三角形面积比计算复杂多边形底面积）与等体积转化。
3. 避坑指南：第一问证明中，必须指出 $PE\subset$ 平面 $PAC$ 且 $PE\perp AC$（交线）后方能得出线面垂直，步骤需严谨无漏洞。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自必修二立体几何初步章节解答题压轴题，结合面面垂直性质与代数方程求解几何量。
2. 结论推广：对锥体中“割补法”求体积问题，可利用底面分割比例 $\frac{V_{截}}{V_{总}}=\frac{S_{截}}{S_{总}}$ 直接计算。

🔗【关联脉络】

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因此𝐵𝐶= 3 或𝐵𝐶= 3√3

类题演练(Links)

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