2015-重庆卷理-06 单-向量数量积

本题导读

本题考查平面向量数量积的综合应用。核心逻辑是将“向量垂直”转化为“数量积为零”，利用已知的模长比例关系进行消元，从而解出夹角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 若非零向量 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\mathbf{b}|$，且 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp (3\mathbf{a}+2\mathbf{b})$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的夹角为 ()

A. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　D. $\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化垂直条件：根据 $\mathbf{u}\perp \mathbf{v}⟺\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=0$，将题目中的垂直关系转化为数量积等式。
2. 展开数量积：利用数量积的分配律展开 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (3\mathbf{a}+2\mathbf{b})=0$。
3. 代入模长关系：将 $|\mathbf{a}{|}^2=\frac{8}{9}|\mathbf{b}{|}^2$ 及 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta$ 代入展开式，消去非零向量的模长因子 $|\mathbf{b}|$。
4. 解三角方程：求出 $\cos \theta$ 的值，并结合向量夹角范围 $\theta \in [0,\pi ]$ 确定最终角度。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：展开垂直关系等式 因为 $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\perp (3\mathbf{a}+2\mathbf{b})$，所以： $(\mathbf{a}-\mathbf{b})\cdot (3\mathbf{a}+2\mathbf{b})=0$ $3{\mathbf{a}}^2+2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-3\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2{\mathbf{b}}^2=0$ $3|\mathbf{a}{|}^2-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}-2|\mathbf{b}{|}^2=0$

第二步：代入已知模长比例 已知 $|\mathbf{a}|=\frac{2\sqrt{2}}{3}|\mathbf{b}|$，则 $|\mathbf{a}{|}^2=\frac{8}{9}|\mathbf{b}{|}^2$。 代入等式： $3\cdot \left(\frac{8}{9}|\mathbf{b}{|}^2\right)-|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta -2|\mathbf{b}{|}^2=0$ $\frac{8}{3}|\mathbf{b}{|}^2-\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}|\mathbf{b}|\right)|\mathbf{b}|\cos \theta -2|\mathbf{b}{|}^2=0$

第三步：化简并求 $\cos \theta$ 两边同时约去非零项 $|\mathbf{b}{|}^2$： $\frac{8}{3}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cos \theta -2=0$ $\frac{2}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cos \theta$ $1=\sqrt{2}\cos \theta ⟹\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$

第四步：确定夹角 由于 $\theta \in [0,\pi ]$，当 $\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时： $\theta =\frac{\pi }{4}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心等价性：${\mathbf{a}}^2=|\mathbf{a}{|}^2$ 是向量计算中最重要的代数转换工具。
2. 运算陷阱：展开数量积时要注意交叉项的系数（$2-3=-1$），不要漏掉或记错符号。
3. 计算技巧：在比例关系题中，可以直接令 $|\mathbf{b}|=1$，从而简化代数书写。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 本题也可以建立以 $\mathbf{b}$ 为 $x$ 轴方向的坐标系，通过分量坐标进行计算，但代数展开法最为通用且直接。
• 变式思考: 若要求 $(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2$ 的值，在已知条件下能否求出？ (提示：已知 $|\mathbf{a}|,|\mathbf{b}|$ 关系及夹角，即可表示出任何线性组合的模长。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-04 单-向量坐标运算
• 2013年重庆卷理-10
• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质