2015-重庆卷理-08 单-圆的方程

本题导读

本题考查直线与圆的综合应用。第一阶段利用“对称轴必过圆心”确定直线中的参数 $a$；第二阶段利用切线、半径与连心线构成的直角三角形，通过勾股定理计算切线长。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 已知直线 $l:x+ay-1=0(a\in \mathbb{R})$ 是圆 $C:x^2+y^2-4x-2y+1=0$ 的对称轴.过点 $A(-4,a)$ 作圆 $C$ 的一条切线，切点为 $B$，则 $|AB|=$ ()

A. 2　　　　　　　B. $4\sqrt{2}$　　　　　　　C. 6　　　　　　　D. $2\sqrt{10}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析圆的特征：将圆的一般方程配方化为标准方程，确定圆心 $C$ 的坐标和半径 $r$。
2. 确定参数 $a$：圆的对称轴必须经过圆心。将圆心坐标代入直线 $l$ 的方程即可求出 $a$。
3. 建立几何模型：连接 $AC,BC$。由于 $AB$ 是切线，则 $BC\perp AB$。在 $Rt△ABC$ 中，$|AB{|}^2+|BC{|}^2=|AC{|}^2$。
4. 计算切线长：利用点点距离公式求出 $|AC|$，再利用勾股定理求出 $|AB|$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化圆为标准方程 $x^2+y^2-4x-2y+1=0⟹(x-2{)}^2+(y-1{)}^2=4$。 由此得圆心坐标为 $C(2,1)$，半径 $r=2$。

第二步：求参数 $a$ 因为直线 $l:x+ay-1=0$ 是圆的对称轴，所以圆心 $C(2,1)$ 在直线上。 代入得：$2+a(1)-1=0⟹a=-1$。 则点 $A$ 的坐标为 $(-4,-1)$。

第三步：计算 $|AC|$ 的长度 根据两点间距离公式： $|AC|=\sqrt{(2-(-4){)}^2+(1-(-1){)}^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}$。

第四步：计算切线长 $|AB|$ 在 $Rt△ABC$ 中，$\angle ABC=90^{\circ }$，$|BC|=r=2$。 根据勾股定理： $|AB|=\sqrt{|AC{|}^2-r^2}=\sqrt{40-2^2}=\sqrt{40-4}=\sqrt{36}=6$。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对称轴性质：圆的任意一条对称轴都必须经过其圆心。这是破解含参直线方程的关键。
2. 切线长模型：记住“切点、圆心、圆外点”构成的直角三角形。切线长 $L=\sqrt{d^2-r^2}$，其中 $d$ 为圆外点到圆心的距离。
3. 计算技巧：在算 $|AC|$ 时可以保留平方形式 $|AC{|}^2=40$，直接代入勾股定理，减少开方运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 切线长公式也可以直接套用一般方程代入法：若点 $A(x_0,y_0)$，圆方程为 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，则 $|AB|=\sqrt{x_0^2+y_0^2+D{x}_0+E{y}_0+F}$。 代入本题：$|AB|=\sqrt{(-4{)}^2+(-1{)}^2-4(-4)-2(-1)+1}=\sqrt{16+1+16+2+1}=\sqrt{36}=6$。
• 变式思考: 若直线 $l$ 与圆相切，则圆心到直线的距离应满足什么条件？ (提示：$d=r$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-13 填-直线与圆
• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2013年重庆卷理-21