2015-重庆卷理-11 填-复数模

本题导读

本题考查复数的基础概念与运算。解题核心在于建立“复数与其共轭复数之积”与“复数模的平方”之间的等价关系，属于概念直读型题目。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 设复数 $a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) 的模为 $\sqrt{3}$，则 $(a+bi)(a-bi)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解模的定义：复数 $z=a+bi$ 的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。已知 $|z|=\sqrt{3}$，可得 $a^2+b^2$ 的值。
2. 分析乘积式：观察 $(a+bi)(a-bi)$，这恰好是复数 $z$ 与其共轭复数 $\bar{z}$ 的乘积。利用平方差公式展开，并注意 $i^2=-1$。
3. 建立关联：利用结论 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 直接得出答案。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：由模的定义列式 因为复数 $a+bi$ 的模为 $\sqrt{3}$， 所以 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3}$。 两边平方得：$a^2+b^2=3$。

第二步：展开目标代数式 $(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2$ $=a^2-b^2{i}^2$ 因为 $i^2=-1$， 所以 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。

第三步：代入求值 将 $a^2+b^2=3$ 代入上式， 得 $(a+bi)(a-bi)=3$。

故答案为：3。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心恒等式：在复数范围内，$z\cdot \bar{z}=|z{|}^2=a^2+b^2$。掌握这个性质可以跳过展开步骤，直接快速求解此类题目。
2. 易错点：注意不要将模的平方根号丢掉，也不要误认为 $(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2$。
3. 计算技巧：对于 $a,b\in \mathbb{R}$ 的前提条件要敏感，确保模的定义适用。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以从几何意义理解，复数与其共轭复数的乘积代表了该复数在复平面上对应向量模长的平方。
• 变式思考: 若已知 $(a+bi)(a-bi)=4$，且 $a,b$ 为整数，求满足条件的复数 $a+bi$ 的个数。 (提示：即求 $a^2+b^2=4$ 的整数解，有 $(2,0),(-2,0),(0,2),(0,-2)$ 共4个。)

🔗【关联脉络】

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