2015-重庆卷理-13 填-正弦定理

本题导读

本题属于解三角形的经典题型。通过角平分线将大三角形划分为两个子三角形，利用正弦定理在子三角形中求出关键角度，进而在大三角形中利用正弦定理或几何关系求得目标边长。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 在 $△ABC$ 中，$B=120^{\circ }$，$AB=\sqrt{2}$，$A$ 的角平分线 $AD=\sqrt{3}$，则 $AC=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 切入子三角形：在 $△ABD$ 中，已知两边 $AB,AD$ 及一角 $B$，优先使用正弦定理求出 $\angle ADB$。
2. 利用内角和：在 $△ABD$ 中求出 $\angle BAD$。由于 $AD$ 是角平分线，可得 $\angle BAC=2\angle BAD$。
3. 回归大三角形：在 $△ABC$ 中，已知 $AB$、$\angle B$ 和刚求出的 $\angle BAC$，利用内角和求出 $\angle C$。
4. 最终求解：在 $△ABC$ 中再次使用正弦定理 $\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}$ 求出 $AC$ 的长。

✅【答案】

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$\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：在 $△ABD$ 中求 $\angle ADB$ 由正弦定理 $\frac{AB}{\sin \angle ADB}=\frac{AD}{\sin B}$ 得： $\frac{\sqrt{2}}{\sin \angle ADB}=\frac{\sqrt{3}}{\sin 120^{\circ }}$ $\sin \angle ADB=\frac{\sqrt{2}\cdot \sin 120^{\circ }}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 $△ABD$ 中，由于 $B=120^{\circ }$，$\angle ADB$ 必为锐角， 故 $\angle ADB=45^{\circ }$。

第二步：求 $\angle BAC$ 的度数 在 $△ABD$ 中，$\angle BAD=180^{\circ }-120^{\circ }-45^{\circ }=15^{\circ }$。 因为 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线， 所以 $\angle BAC=2\angle BAD=30^{\circ }$。

第三步：在 $△ABC$ 中求 $\angle C$ 在 $△ABC$ 中，$\angle C=180^{\circ }-\angle B-\angle BAC=180^{\circ }-120^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$。 (由此可见 $△ABC$ 是一个等腰三角形，其中 $AC=BC$)。

第四步：求 $AC$ 的长度 在 $△ABC$ 中，由正弦定理得： $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$ $AC=\frac{AB\cdot \sin 120^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}$。

故答案为：$\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 多三角形转化：解三角形题目中若出现角平分线、中线或高，往往需要先在局部三角形中寻找突破口（角或边），再转化到整体三角形中。
2. 边角关系判定：求出 $\sin \angle ADB=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 后，必须结合三角形内角和判断该角是 $45^{\circ }$ 还是 $135^{\circ }$。
3. 特殊三角形直觉：最后发现 $\angle C=\angle BAC=30^{\circ }$ 说明 $△ABC$ 是等腰三角形，这可以作为计算准确性的一个重要反馈。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 在求出 $\angle BAC=30^{\circ }$ 后，也可以利用面积法。 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，利用 $\frac{1}{2}bc\sin A$ 公式建立关于 $AC$ 的方程。
• 变式思考: 若题目改为“$AD$ 是 $BC$ 边的中线”，该如何利用余弦定理或平行四边形性质进行求解？

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

$\surd 6$

类题演练(Links)

• 2012-重庆卷理-13
• 2007-重庆卷理-05 单-特殊角三角函数值
• 2012-重庆卷理-11