2015-重庆卷理-19 解-线面垂直

本题导读

本题是立体几何综合大题。第一问通过勾股定理逆定理证明线线垂直，结合线面垂直定义完成判定；第二问利用图形中的垂直关系建立空间直角坐标系，通过计算平面的法向量求解二面角的余弦值。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 如图，三棱锥 $P-ABC$ 中，$PC\perp$ 平面 $ABC$，$PC=3$，$\angle ACB=\frac{\pi }{2}$.$D,E$ 分别为线段 $AB,BC$ 上的点，且 $CD=DE=\sqrt{2}$，$CE=2EB=2$.

(1) 证明：$DE\perp$ 平面 $PCD$；

(2) 求二面角 $A-PD-C$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面垂直）：
   • 寻找 $DE$ 与平面 $PCD$ 内两条相交直线的关系。
   • 已知 $PC\perp$ 平面 $ABC$，而 $DE\subset$ 平面 $ABC$，故 $PC\perp DE$。
   • 在 $△CDE$ 中，利用 $CE=2$，$CD=DE=\sqrt{2}$，验证勾股定理是否成立，从而证明 $CD\perp DE$。
2. 第二问（二面角）：
   • 建系：由于 $CA,CB,CP$ 两两垂直，以 $C$ 为原点建立空间直角坐标系。
   • 求点坐标：需要先求出 $AC$ 的长度。过 $D$ 作 $DF\perp BC$ 于 $F$，利用相似或三角函数求出 $DF,CF$，进而求出 $AC$。
   • 计算法向量：分别求平面 $PAD$ 和平面 $PCD$ 的法向量。
   • 求余弦值：利用向量夹角公式计算。

✅【答案】

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故二面角 $A-PD-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$DE\perp$ 平面 $PCD$ 因为 $PC\perp$ 平面 $ABC$，$DE\subset$ 平面 $ABC$， 所以 $PC\perp DE$。 在 $△CDE$ 中，$CD=DE=\sqrt{2}$，$CE=2$。 因为 $C{D}^2+D{E}^2=(\sqrt{2}{)}^2+(\sqrt{2}{)}^2=4=C{E}^2$， 根据勾股定理的逆定理，$△CDE$ 为等腰直角三角形，且 $\angle CDE=90^{\circ }$。 即 $CD\perp DE$。 又因为 $PC\cap CD=C$，$PC,CD\subset$ 平面 $PCD$， 所以 $DE\perp$ 平面 $PCD$。

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(2) 求二面角 $A-PD-C$ 的余弦值 在 $△CDE$ 中，过 $D$ 作 $DF\perp BC$ 于 $F$。 易知 $F$ 为 $CE$ 的中点，则 $CF=FE=1$，$DF=1$。 因为 $\angle ACB=90^{\circ }$，故 $DF//AC$。 又 $CE=2$，$EB=1$，则 $BC=3$。 由 $△BDF\sim △BAC$ 得 $\frac{DF}{AC}=\frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}$， 解得 $AC=\frac{3}{2}DF=\frac{3}{2}$。


以 $C$ 为原点，$\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CP}$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 则各点坐标为：$C(0,0,0),P(0,0,3),A(\frac{3}{2},0,0),D(1,1,0)$。

设平面 $PAD$ 的法向量为 $\overrightarrow{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$。 $\overrightarrow{DA}=(\frac{1}{2},-1,0)$，$\overrightarrow{DP}=(-1,-1,3)$。 由 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DA}=\frac{1}{2}{x}_1-y_1=0\\ \overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{DP}=-x_1-y_1+3z_1=0\end{array}$， 取 $x_1=2$，则 $y_1=1,z_1=1$。得 $\overrightarrow{n_1}=(2,1,1)$。

由（1）知 $DE\perp$ 平面 $PCD$，故平面 $PCD$ 的法向量可取 $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{ED}=(1,-1,0)$。 设二面角 $A-PD-C$ 的大小为 $\theta$， $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|2-1|}{\sqrt{6}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{3}}{6}$。 故二面角 $A-PD-C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 几何辅助线的重要性：在建系前求 $AC$ 长度时，平面几何中的相似三角形或投影关系是关键。
2. 法向量的灵活选取：若已知线面垂直，该直线的方向向量可直接作为平面的法向量，减少方程组运算。
3. 符号判定：求二面角余弦值时，注意观察图形是锐角还是钝角（本题为锐角），向量夹角取绝对值后需结合实际图形微调。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第二问如果不建系，可以利用三垂线定理作出二面角的平面角，通过解直角三角形求得结果。
• 变式思考: 若点 $E$ 在 $BC$ 上移动，是否存在某个位置使得 $DE//$ 平面 $PAC$？ (提示：研究 $\overrightarrow{ED}$ 与平面 $PAC$ 法向量 $(0,1,0)$ 的数量积是否为 0。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

二面角𝐴−𝑃𝐷−𝐶的余弦值为√36.

类题演练(Links)

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