2015-重庆卷理-20 解-导数运算法则

本题导读

本题考查导数在研究函数性质中的综合应用。第一问要求根据极值点确定参数并求解切线方程，侧重基础运算；第二问要求函数在给定区间上恒为减函数，需转化为导函数不等式恒成立问题，考查分类讨论或二次函数性质的应用。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 设函数 $f(x)=\frac{3x^2+ax}{e^x}(a\in \mathbb{R})$.

(1) 若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值，确定 $a$ 的值，并求此时曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线方程；

(2) 若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty )$ 上为减函数，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（极值与切线）：
   • 对 $f(x)$ 求导，得到 $f^{\prime }(x)$。
   • 利用极值点处导数为 0（$f^{\prime }(0)=0$）求出 $a$。
   • 代入 $a$ 后，计算 $f(1)$（切点纵坐标）和 $f^{\prime }(1)$（切线斜率）。
   • 利用点斜式写出切线方程。
2. 第二问（单调性与恒成立）：
   • 函数在区间上递减等价于 $f^{\prime }(x)\le 0$ 在该区间恒成立。
   • 提取导函数中的二次项部分 $g(x)=-3x^2+(6-a)x+a$。
   • 问题转化为：$g(x)\le 0$ 对 $x\in [3,+\infty )$ 恒成立。
   • 结合二次函数的开口方向（向下）和根的分布进行分析。

✅【答案】

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故 $a$ 的取值范围是 $[-\frac{9}{2},+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 确定 $a$ 的值及切线方程 对 $f(x)$ 求导： $f^{\prime }(x)=\frac{(6x+a)e^x-(3x^2+ax)e^x}{(e^x{)}^2}=\frac{-3x^2+(6-a)x+a}{e^x}$。 因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极值， 所以 $f^{\prime }(0)=\frac{-3(0{)}^2+(6-a)(0)+a}{e^0}=a=0$。 故 $a=0$。

当 $a=0$ 时，$f(x)=\frac{3x^2}{e^x}$，$f^{\prime }(x)=\frac{-3x^2+6x}{e^x}$。 切点纵坐标：$f(1)=\frac{3}{e}$。 切线斜率：$k=f^{\prime }(1)=\frac{-3+6}{e}=\frac{3}{e}$。 切线方程为：$y-\frac{3}{e}=\frac{3}{e}(x-1)$， 整理得：$y=\frac{3}{e}x$，即 $3x-ey=0$。

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(2) 求 $a$ 的取值范围 若 $f(x)$ 在 $[3,+\infty )$ 上为减函数，则 $f^{\prime }(x)\le 0$ 在 $[3,+\infty )$ 上恒成立。 由于 $e^x>0$，等价于 $-3x^2+(6-a)x+a\le 0$ 对 $x\in [3,+\infty )$ 恒成立。 设 $g(x)=-3x^2+(6-a)x+a$。

由于 $g(x)$ 的图象是开口向下的抛物线，要使其在 $[3,+\infty )$ 上恒小于等于 0， 只需满足该抛物线在区间左端点处不大于 0，且对称轴在左端点左侧（或通过函数整体走势判定）。 由于 $g(x)$ 随着 $x$ 增大最终趋向 $-\infty$，只要它在 $x=3$ 处进入负值区域且不再返回即可。 更严谨地，考察 $g(x)\le 0⟹a(1-x)\le 3x^2-6x$。 当 $x\ge 3$ 时，$1-x<0$，不等式变形为： $a\ge \frac{3x^2-6x}{1-x}$。 设 $h(x)=\frac{3x^2-6x}{1-x}=\frac{3x(x-2)}{1-x}$。 通过分离常数或求导：$h(x)=\frac{3x^2-3x-3x}{1-x}=-3x+\frac{3x}{1-x}\dots$ 更简便地，$g(3)=-3(9)+(6-a)3+a=-27+18-3a+a=-9-2a\le 0$。 解得 $a\ge -\frac{9}{2}$。 此时对称轴 $x_0=\frac{6-a}{6}=1-\frac{a}{6}$。 若 $a\ge -\frac{9}{2}$，则 $x_0\le 1-(-\frac{9}{12})=\frac{7}{4}<3$。 由于对称轴在 $x=3$ 的左侧，函数 $g(x)$ 在 $[3,+\infty )$ 上单调递减， 因此 $g(3)\le 0$ 确实能保证 $g(x)\le 0$ 在该区间恒成立。 故 $a$ 的取值范围是 $[-\frac{9}{2},+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 求导基本功：商的求导法则 $(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ 是解析大题的基础。
2. 极值的必要条件：可导函数在极值点处导数必为 0，但导数为 0 并不一定是极值点（需左右导数异号），本题中由于是“若”，通常默认该点满足极值定义，计算后可简要验证。
3. 恒成立转化：处理 $f^{\prime }(x)\le 0$ 时，利用二次函数图象的端点值和对称轴位置是避免复杂分类讨论的有效途径。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第二问也可以使用参变分离法。 $a(x-1)\ge -3x^2+6x$，因为 $x\ge 3$，所以 $x-1>0$，则 $a\ge \frac{-3x^2+6x}{x-1}$。令 $u=x-1\ge 2$，转化为关于 $u$ 的函数求最值。
• 变式思考: 若要求 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上恰有两个极值点，参数 $a$ 应满足什么条件？ (提示：判别式 $\Delta =(6-a{)}^2-4(-3)a>0$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-20 解-切线斜率
• 2008-重庆卷理-20
• 2012-重庆卷理-20