2015-陕西卷文-06 单-充要条件

本题导读

$\sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =0$ 充分；$\alpha =\frac{3\pi }{4}$ 时 $\cos 2\alpha =0$ 但 $\sin \alpha \ne \cos \alpha$，不必要，选 A。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） "$\sin \alpha =\cos \alpha$"是"$\cos 2\alpha =0$"的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要

🔍【思路分析】

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$\sin \alpha =\cos \alpha \Rightarrow \cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =0$ 充分；$\alpha =\frac{3\pi }{4}$ 时 $\cos 2\alpha =0$ 但 $\sin \alpha \ne \cos \alpha$，不必要，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若 $\sin \alpha =\cos \alpha$，则 $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =0$，充分性成立。

必要性：取 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$，则 $\cos 2\alpha =\cos \frac{3\pi }{2}=0$，但 $\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{2}\ne -\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \alpha$，必要性不成立。

故"$\sin \alpha =\cos \alpha$"是"$\cos 2\alpha =0$"的充分不必要条件，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充分条件与必要条件；二倍角的余弦公式

核心方法：“正推定充分、反例定必要”

避坑指南：①$\cos 2\alpha =0$ 的解是 $\alpha =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$，其中 $\alpha =\frac{3\pi }{4}$ 等情形下 $\sin \alpha \ne \cos \alpha$，反例正是从解集中挑”非 $\frac{\pi }{4}+k\pi$“的角；②充分方向是”小推大”，方向别反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：逻辑用语与三角恒等变换嫁接（doc 考点定位：恒等变换、命题的充分必要性），反例藏在 $\cos 2\alpha =0$ 的解集结构里。

结论推广：一般地，$\sin \alpha =\cos \alpha ⟺\alpha =\frac{\pi }{4}+k\pi$；$\cos 2\alpha =0⟺\alpha =\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$，后者是前者的两倍”密度”，故前者是后者的真子集条件。

方法推广：判断与三角等式相关的条件关系：把两个条件各自解成解集，比较集合的包含关系，一步到位。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-6
• 2006-陕西卷理-06 单-充分条件与必要条件的判定
• 2013年陕西卷理-3