2015-陕西卷文-17 解-解三角形

本题导读

$a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$ 化角得 $\tan A=\sqrt{3}\Rightarrow A=\frac{\pi }{3}$；$a=\sqrt{7},b=2$ 时 $c=3$，$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） $△ABC$ 的内角 $A$，$B$，$C$ 所对的边分别为 $a$，$b$，$c$. 向量 $\mathbf{m}=\left(a,\sqrt{3}b\right)$ 与 $\mathbf{n}=(\cos A,\sin B)$ 平行.

(1) 求 $A$；

(2) 若 $a=\sqrt{7}$，$b=2$，求 $△ABC$ 的面积.

🔍【思路分析】

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$a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$ 化角得 $\tan A=\sqrt{3}\Rightarrow A=\frac{\pi }{3}$；$a=\sqrt{7},b=2$ 时 $c=3$，$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

✅【答案】

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(1) $A=\frac{\pi }{3}$

(2) $S=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\mathbf{m}\parallel \mathbf{n}$，得 $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$。

由正弦定理 $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$，即 $a\sin B=b\sin A$，代入得 $b\sin A=\sqrt{3}b\cos A$，故 $\sin A=\sqrt{3}\cos A$。

由 $0<A<\pi$ 知 $\sin A>0$，从而 $\cos A>0$，$\tan A=\sqrt{3}$，所以 $A=\frac{\pi }{3}$。

(2) 由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=4+c^2-2c$，将 $a^2=7$ 代入得 $c^2-2c-3=0$，解得 $c=3$（舍负）。

$S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量平行的坐标表示；正弦定理（边角互化）；余弦定理；三角形面积公式

核心方法：“平行条件列式 → 边化角 → 定角 → 余弦定理求边 → 面积”

避坑指南：①$\sin A=\sqrt{3}\cos A$ 两边同除 $\cos A$ 前要确认 $\cos A>0$（由 $\sin A>0$ 与等式右端推出）；②解出 $c=3$ 后舍去负根；③面积选 $\frac{1}{2}bc\sin A$ 用的是两个已知边与已求角。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量条件嫁接解三角形的标准大题（doc 考点定位：正弦定理和余弦定理、三角形的面积），“平行 → 边角互化”是第一条链。

结论推广：一般地，$(a,\sqrt{3}b)\parallel (\cos A,\sin B)$ 型条件一律 $a\sin B=\sqrt{3}b\cos A$ 展开；若改为 $\mathbf{m}\perp \mathbf{n}$ 则得 $a\cos A+\sqrt{3}b\sin B=0$，同样化角处理。

方法推广：解三角形入口三选一：向量平行/垂直、边角等式、面积条件；统一策略是”化成角的方程”，求边再回头用余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 11.01 正弦定理
• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-17 解-向量平行
• 2014-陕西卷理-16 解-正余弦定理
• 2013年陕西卷理-7