2015-陕西卷理-01 单-集合并集

本题导读

本题考查集合的并集运算。关键在于准确求解一元二次方程和对数不等式，尤其需要注意对数函数定义域的限制。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 设集合 $M=\{x|x^2=x\}$，$N=\{x|\lg x\le 0\}$，则 $M\cup N=$ ()

A. $[0,1]$　　　　B. $(0,1]$　　　　C. $[0,1)$　　　　D. $(-\infty ,1]$

🔍【思路分析】

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1. 化简集合 $M$：解一元二次方程 $x^2=x$，求出元素。
2. 化简集合 $N$：解对数不等式 $\lg x\le 0$。注意对数的真数必须大于 0。
3. 求并集：将两个集合的元素合并，求出 $M\cup N$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化简集合 $M$ 由 $x^2=x$ 得 $x^2-x=0$，即 $x(x-1)=0$。 解得 $x_1=0,x_2=1$。 所以 $M=\{0,1\}$。

第二步：化简集合 $N$ 由 $\lg x\le 0$ 可知： 根据对数函数的定义域，真数 $x>0$； 根据 $\lg x\le \lg 1$ 及对数函数 $y=\lg x$ 的单调递增性，得 $x\le 1$。 所以 $N=\{x|0<x\le 1\}$，即区间 $(0,1]$。

第三步：计算 $M\cup N$ $M\cup N=\{0,1\}\cup (0,1]=[0,1]$。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：一元二次方程的根；对数不等式的解集；并集的定义。
• 核心方法：定义法。将描述法表示的集合转化为具体的数值或区间，再进行集合运算。
• 避坑指南：
  1. 解对数不等式时，极易忽略真数大于 0 的隐含条件（即 $x>0$）。
  2. 注意集合 $M$ 是离散的点集，而 $N$ 是连续的区间，并集结果应包含端点 $0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若题目求的是 $M\cap N$，则结果为 $\{1\}$。 *方法推广: 解决集合运算问题时，数轴法是处理连续区间运算最直观的工具。

• 相关知识点：对数函数的图象与性质、二次函数的零点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-1
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• 2014-陕西卷理-01 单-集合交集