2015-陕西卷理-03 单-正弦型函数

本题导读

本题考查正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 图象的实际应用。通过观察图象获取最低点信息，进而确定常数 $k$ 并求出函数的最大值。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 如图，某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 $y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\phi \right)+k$，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为 ()

A. 5　　　　　　　B. 6　　　　　　　C. 8　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

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1. 识别函数结构：已知函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$，其中 $A=3$ 表示振幅。
2. 分析图象特征：从图中可以看出，曲线的最低点对应的纵坐标为 $2$。
3. 建立等量关系：根据正弦函数性质，$y$ 的最小值为 $-|A|+k$。利用 $y_{min}=2$ 解出 $k$。
4. 求最大值：最大值 $y_{max}=|A|+k$，代入已知的 $A$ 和求得的 $k$ 即可。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定最小值与 $k$ 的关系 由函数解析式 $y=3\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\phi \right)+k$ 可知，振幅 $A=3$。 正弦部分 $\sin \left(\frac{\pi }{6}x+\phi \right)$ 的取值范围为 $[-1,1]$。 因此，函数的最小值 $y_{min}=3\times (-1)+k=-3+k$。

第二步：利用图象求 $k$ 观察图象，水深曲线的最低点纵坐标为 $2$。 则有 $-3+k=2$，解得 $k=5$。

第三步：计算最大值 函数的最大值 $y_{max}=3\times 1+k=3+k$。 将 $k=5$ 代入得： $y_{max}=3+5=8$

答案：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦型函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的最值公式：$y_{max}=|A|+k$，$y_{min}=-|A|+k$。
• 核心方法：整体代换法。将 $\sin (\omega x+\phi )$ 看作一个整体，利用其范围 $[-1,1]$ 快速锁定 $y$ 的范围。
• 避坑指南：注意图象中的坐标数值。图中最低点处标有数字 $2$，不要误看作是平衡位置（中轴线）的数值。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 常数 $k$（或 $D$）在三角函数图象中代表平衡位置（振动中心），其几何意义是图象上下平移的距离。 *方法推广: 若已知最大值 $M$ 和最小值 $m$，则振幅 $A=\frac{M-m}{2}$，平衡位置 $k=\frac{M+m}{2}$。

• 相关知识点：周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$、初相 $\phi$ 的确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-13 填-向量平行的坐标表示
• 2014-陕西卷理-02 单-三角函数的周期性
• 2013年陕西卷理-16