2015-陕西卷理-11 单-复数模

本题导读

本题是复数性质与几何概型的综合题。通过复数模的定义确定试验的总区域（圆面），通过不等式确定目标区域（阴影部分），利用面积比求出概率。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 设复数 $z=(x-1)+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$)，若 $|z|\le 1$，则 $y\ge x$ 的概率为 ()

A. $\frac{3}{4}+\frac{1}{2\pi }$　　　　B. $\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }$　　　　C. $\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi }$　　　　D. $\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }$

🔍【思路分析】

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1. 转化复数条件：根据复数模的定义 $|z|=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$。由 $|z|\le 1$ 得 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$。这在平面直角坐标系中表示一个以 $(1,0)$ 为圆心，半径为 $1$ 的圆及其内部，此为总试验区域。
2. 确定目标区域：条件为 $y\ge x$，即直线 $y=x$ 的上方部分。我们需要找出该直线与圆面交叠部分的面积，此为目标区域。
3. 计算面积：
   • 总区域面积 $S_{总}$ 为圆的面积。
   • 目标区域面积 $S_{目}$ 通常由扇形或弓形的面积计算得出。
4. 计算概率：根据几何概型公式 $P=\frac{S_{目}}{S_{总}}$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定总区域面积 由 $|z|\le 1$ 得 $(x-1{)}^2+y^2\le 1$。 这是一个圆心为 $C(1,0)$，半径 $r=1$ 的圆。 总面积 $S_{总}=\pi r^2=\pi \times 1^2=\pi$。 

第二步：确定目标区域面积 联立圆与直线方程： $\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+y^2=1\\ y=x\end{array}⟹(x-1{)}^2+x^2=1⟹2x^2-2x=0$ 解得交点为 $O(0,0)$ 和 $A(1,1)$。 观察图象（见原图），直线 $y=x$ 将圆分割，目标区域 $y\ge x$ 是圆中位于直线左上方的一个弓形区域。 该弓形面积 $S_{弓}$ = 扇形 $OCA$ 的面积 - $△OCA$ 的面积。

• 扇形 $OCA$：圆心 $C(1,0)$ 到 $O(0,0)$ 和 $A(1,1)$ 的距离均为 $1$，且 $\overrightarrow{CO}=(-1,0)$，$\overrightarrow{CA}=(0,1)$。两向量垂直，故圆心角为 $90^{\circ }$。
• $S_{扇}=\frac{1}{4}\pi r^2=\frac{\pi }{4}$。
• $S_{△OCA}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。 则目标区域面积 $S_{目}=S_{扇}-S_{△OCA}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}$。

第三步：计算概率 $P=\frac{S_{目}}{S_{总}}=\frac{\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}}{\pi }=\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }$

答案：B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数模的几何意义；几何概型（面积比）；弓形面积的计算（割补法）。
• 核心方法：数形结合法。此类题目必须画图，通过图象直观判断目标区域的形状。
• 避坑指南：
  1. 计算扇形面积时，要准确判断圆心角。
  2. 注意圆心坐标是 $(1,0)$ 而非原点，这会影响直线与圆的位置关系判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于几何概型，解题关键是“测度”的计算。一维看长度，二维看面积，三维看体积。 *方法推广: 弓形面积 $S_{弓}=\frac{1}{2}{r}^2(\theta -\sin \theta )$（其中 $\theta$ 为弧度制下的圆心角）。

• 相关知识点：定积分求面积（本题也可用定积分 ${\int }_0^1(\sqrt{1-(x-1{)}^2}-x)dx$ 求解，但几何法更简便）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 23.02全概率、贝叶斯公式与马尔可夫游走模型

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-5
• 2013年陕西卷理-6
• 2012年陕西卷理-5