2016-全国卷I文-20 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与抛物线的位置关系（交点、对称性）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l:y=t(t\ne 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M$，交抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$，$M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$，连接 $ON$ 并延长交 $C$ 于点 $H$.

(1) 求 $\frac{|OH|}{|ON|}$；

(2) 除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与抛物线 $C$ 是否有其它公共点？说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据直线 $y=t$ 与抛物线 $y^2=2px$ 交点 $P$ 的坐标，利用中点坐标公式求出对称点 $N$ 的坐标，进而得到直线 $ON$ 的方程；与抛物线联立求出点 $H$ 的坐标，计算线段长度比值。
2. 第 (2) 问：求出点 $M$ 和点 $H$ 的坐标，写出直线 $MH$ 的方程，与抛物线方程联立，通过判别式 $\Delta$ 判断直线 $MH$ 与抛物线是相切还是相交，从而得出结论。

✅【答案】

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|𝑂𝐻||𝑂𝑁|=2；除𝐻以外，直线𝑀𝐻与抛物线𝐶没有其它公共点.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由直线 $l:y=t(t\ne 0)$ 交 $y$ 轴于点 $M(0,t)$。 直线 $l$ 交抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 于点 $P$，将 $y=t$ 代入 $y^2=2px$ 得 $t^2=2px⟹x_P=\frac{t^2}{2p}$， 故点 $P$ 的坐标为 $\left(\frac{t^2}{2p},t\right)$。 设点 $N$ 的坐标为 $(x_N,y_N)$。因为 $M$ 关于点 $P$ 的对称点为 $N$，所以 $P$ 是线段 $MN$ 的中点。 根据中点坐标公式： $\{\begin{array}{l}\frac{0+x_N}{2}=\frac{t^2}{2p}\\ \frac{t+y_N}{2}=t\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_N=\frac{t^2}{p}\\ y_N=t\end{array}$， 即点 $N$ 的坐标为 $\left(\frac{t^2}{p},t\right)$。 设直线 $ON$ 的方程为 $y=kx$。将点 $N\left(\frac{t^2}{p},t\right)$ 代入得： $t=k\cdot \frac{t^2}{p}⟹k=\frac{p}{t}$。 故直线 $ON$ 的方程为 $y=\frac{p}{t}x$。 联立直线 $ON$ 与抛物线 $C$： $\{\begin{array}{l}y=\frac{p}{t}x\\ y^2=2px\end{array}⟹{\left(\frac{p}{t}x\right)}^2=2px⟹\frac{p^2}{t^2}{x}^2-2px=0$。 因为 $H$ 是除原点外直线 $ON$ 与抛物线的交点，解得 $x_H=\frac{2t^2}{p}$， 代入得 $y_H=\frac{p}{t}\cdot \frac{2t^2}{p}=2t$。 故点 $H$ 的坐标为 $\left(\frac{2t^2}{p},2t\right)$。 计算向量或线段长度： $O$ 为原点 $(0,0)$，$N\left(\frac{t^2}{p},t\right)$，$H\left(\frac{2t^2}{p},2t\right)$。 点 $O,N,H$ 共线，且 $\overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{ON}$， 因此 $|OH|=2|ON|$，从而 $\frac{|OH|}{|ON|}=2$。

(2) 结论：除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与抛物线 $C$ 没有其它公共点。 理由如下： 由前面可知点 $M(0,t)$，点 $H\left(\frac{2t^2}{p},2t\right)$。 直线 $MH$ 的斜率为 $k_{MH}=\frac{2t-t}{\frac{2t^2}{p}-0}=\frac{t}{\frac{2t^2}{p}}=\frac{p}{2t}$。 故直线 $MH$ 的方程为： $y-t=\frac{p}{2t}x⟹y=\frac{p}{2t}x+t$。 将直线 $MH$ 的方程代入抛物线 $C:y^2=2px$ 中： ${\left(\frac{p}{2t}x+t\right)}^2=2px$ $\frac{p^2}{4t^2}{x}^2+px+t^2=2px$ $\frac{p^2}{4t^2}{x}^2-px+t^2=0$。 方程两边同乘以 $\frac{4t^2}{p^2}$ 整理得： $x^2-\frac{4t^2}{p}x+\frac{4t^4}{p^2}=0⟹{\left(x-\frac{2t^2}{p}\right)}^2=0$。 解得唯一实根 $x=\frac{2t^2}{p}$。 由于判别式 $\Delta =0$，说明直线 $MH$ 与抛物线 $C$ 只有一个公共点 $H$（即直线与抛物线相切）。 因此，除 $H$ 以外，直线 $MH$ 与抛物线 $C$ 没有其它公共点。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线方程、中点坐标公式、直线与抛物线的位置关系（相切）。
2. 核心方法：坐标法、联立方程判别式法。
3. 避坑指南：第 (2) 问联立消元后得到完全平方式，说明相切，切勿漏掉对切点唯一性的论证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷高考解析几何压轴题的经典几何代数综合题。
2. 结论推广：抛物线上过特定点的切线性质在解析几何综合题中应用广泛。

🔗【关联脉络】

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• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线
• 2017-全国卷III理-20 解-抛物线
• 2017-全国卷II文-12 单-抛物线

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