2016-全国卷I理-18 解-面面垂直

本题导读

本题考查面面垂直的判定与性质、二面角的平面角及其求法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 如图，在以 $A,B,C,D,E,F$ 为顶点的五面体中，面 $ABEF$ 为正方形，$AF=2FD$，$\angle AFD=90^{\circ }$，且二面角 $D-AF-E$ 与二面角 $C-BE-F$ 都是 $60^{\circ }$.

(1)证明：平面 $ABEF\perp$ 平面 $EFDC$；

(2)求二面角 $E-BC-A$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（面面垂直）：

• 根据正方形性质得 $AF\perp EF$。
• 已知 $\angle AFD=90^{\circ }$ 得 $AF\perp DF$。
• 结合线面垂直判定定理，得 $AF\perp$ 平面 $EFDC$。
• 进一步推导出面面垂直。

2. 第二问（二面角）：

• 几何分析：由二面角 $D-AF-E$ 为 $60^{\circ }$ 及 $AF\perp$ 面 $EFDC$，确定 $\angle DFE$ 为该二面角的平面角。同理，由 $BE\perp$ 面 $EFDC$ 确定 $\angle CEF$ 为另一二面角的平面角。
• 建系定标：以 $E$ 为原点，$EF$ 所在直线为 $x$ 轴，$EB$ 所在直线为 $y$ 轴建立空间直角坐标系。设 $FD=a$，则可确定 $A,B,C,E$ 等点的坐标。
• 向量计算：分别计算平面 $BCE$ 和平面 $ABC$ 的法向量 $\vec{m},\vec{n}$。
• 余弦公式：$\cos \theta =\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}$，注意根据图形判断二面角的锐钝性质。

✅【答案】

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（1）平面𝐴𝐵𝐸𝐹⟂平面𝐸𝐹𝐷𝐶.（2）二面角𝐸−𝐵𝐶−𝐴的余弦值为−2√1919.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 因为 $ABEF$ 为正方形，所以 $AF\perp EF$。 又因为 $\angle AFD=90^{\circ }$，即 $AF\perp DF$。 且 $EF\cap DF=F$，$EF,DF\subset$ 平面 $EFDC$。 所以 $AF\perp$ 平面 $EFDC$。 由于 $AF\subset$ 平面 $ABEF$， 所以 平面 $ABEF\perp$ 平面 $EFDC$。

(2)解： 由(1)知 $AF\perp DF,AF\perp EF$，故 $\angle DFE$ 为二面角 $D-AF-E$ 的平面角，则 $\angle DFE=60^{\circ }$。 同理，$BE\perp EF,BE\perp CE$，故 $\angle CEF$ 为二面角 $C-BE-F$ 的平面角，则 $\angle CEF=60^{\circ }$。 且 $AF//BE$，故 $BE\perp$ 平面 $EFDC$。 设 $FD=a$，则由 $AF=2FD$ 得 $AF=2a$；又 $ABEF$ 是正方形，故 $FE=2a$。 在 $△DFE$ 中 $FD=a$、$FE=2a$、$\angle DFE=60^{\circ }$，由余弦定理得 $DE=\sqrt{a^2+4a^2-2\cdot a\cdot 2a\cos 60^{\circ }}=\sqrt{3}a$；于是 $F{D}^2+D{E}^2=4a^2=F{E}^2$，故 $\angle FDE=90^{\circ }$——$△DFE$ 的直角在 $D$，斜边是 $FE$，不要当成 $FD$ 为斜边。 以 $E$ 为原点，建立空间直角坐标系如图。

则各点坐标为：$E(0,0,0)$，$B(0,2a,0)$，$F(2a,0,0)$，$A(2a,2a,0)$；$D$ 在平面 $EFDC$ 内，由 $FD=a$、$\angle DFE=60^{\circ }$ 得 $D\left(\frac{3a}{2},0,\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$。 $C$ 也在平面 $EFDC$ 内，设 $C\left(\frac{t}{2},0,\frac{\sqrt{3}t}{2}\right)$（这已保证 $\angle CEF=60^{\circ }$），再由 $C$ 在平面 $ABCD$ 内定出 $t$。 平面 $ABCD$ 过 $A$、$B$、$D$，由 $\overrightarrow{AB}=(-2a,0,0)$、$\overrightarrow{AD}=\left(-\frac{a}{2},-2a,\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$ 得法向量 $(0,\sqrt{3},4)$，故其方程为 $\sqrt{3}y+4z=2\sqrt{3}a$；代入 $C$ 得 $t=a$，即 $C\left(\frac{a}{2},0,\frac{\sqrt{3}a}{2}\right)$。 $\overrightarrow{EB}=(0,2a,0),\overrightarrow{BC}=(\frac{a}{2},-2a,\frac{\sqrt{3}}{2}a),\overrightarrow{AB}=(-2a,0,0)$。

1. 设平面 $BEC$ 的法向量为 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}\vec{m}\cdot \overrightarrow{EB}=2a{y}_1=0\\ \vec{m}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{a}{2}{x}_1-2a{y}_1+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}_1=0\end{array}⟹y_1=0,x_1=-\sqrt{3}{z}_1$。 取 $\vec{m}=(\sqrt{3},0,-1)$。

2. 设平面 $ABC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=-2a{x}_2=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}=\frac{a}{2}{x}_2-2a{y}_2+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}_2=0\end{array}⟹x_2=0,y_2=\frac{\sqrt{3}}{4}{z}_2$。 取 $\vec{n}=(0,\sqrt{3},4)$。

3. 计算夹角： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{0+0-4}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{3+16}}=-\frac{4}{2\sqrt{19}}=-\frac{2\sqrt{19}}{19}$。 由图可知二面角 $E-BC-A$ 为钝角， 故其余弦值为 $-\frac{2\sqrt{19}}{19}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 法向量的唯一性：法向量的方向（向上或向下）直接决定了余弦值的正负。最后必须结合图形判断实际二面角是锐角还是钝角。
• 斜棱柱/不规则多面体：对于非标准几何体，寻找互相垂直的“三线”是建系的关键。
• 全国卷立体几何题在第一问往往送分，第二问的计算量是拉开差距的地方，根号和系数的运算务必严谨。

📖【试题探源与推广】

Tip

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷III理-19 解-面面垂直

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