2016-全国卷II文-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(文)） 已知点 $A$ 是椭圆 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 的左顶点，斜率为 $k(k>0)$ 的直线交椭圆 $E$ 于 $A,M$ 两点，点 $N$ 在 $E$ 上，$MA\perp NA$.

(1) 当 $|AM|=|AN|$ 时，求三角形 $AMN$ 的面积；

(2) 当 $2|AM|=|AN|$ 时，证明：$\sqrt{3}<k<2$.

🔍【思路分析】

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1. 首先求出椭圆的左顶点 $A$ 的坐标。设直线 $AM$ 的方程为 $y=k(x+2)(k>0)$，将其与椭圆方程联立，利用韦达定理求出点 $M$ 的坐标及线段 $|AM|$ 的长度。
2. 第 (1) 问：利用 $MA\perp NA$ 且 $|AM|=|AN|$，结合直角三角形性质求出点 $N$ 的坐标，进而计算 $△AMN$ 的面积。
3. 第 (2) 问：设直线 $AN$ 的斜率为 $k_2$，由于 $MA\perp NA$，可得 $k\cdot k_2=-1$，从而表示出直线 $AN$ 的方程，与椭圆联立求出 $|AN|$ 的长度；根据 $2|AM|=|AN|$ 建立关于斜率 $k$ 的方程或不等式，证明其取值范围。

✅【答案】

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当𝑎≥0时，𝑓(𝑥)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当𝑎=−e2时，𝑓(𝑥)在𝐑上单调递增；当−e2<𝑎<0时，𝑓(𝑥)在(−∞,ln(−2𝑎))和(1,+∞)上单

✍【详细解析】

Abstract

由椭圆方程 $E:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，可知其左顶点 $A(-2,0)$。 设直线 $AM$ 的方程为 $y=k(x+2)(k>0)$。 联立直线与椭圆方程： $\{\begin{array}{l}y=k(x+2)\\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}⟹(3+4k^2)x^2+16k^{2}x+16k^2-12=0$。 已知点 $A(-2,0)$ 在椭圆上，设点 $M(x_1,y_1)$， 由根与系数的关系可得： $-2+x_1=\frac{-16k^2}{3+4k^2}⟹x_1=\frac{6-4k^2}{3+4k^2}$。 进而可求得纵坐标 $y_1=k(x_1+2)=\frac{12k}{3+4k^2}$。 线段长度 $|AM|=\sqrt{(x_1+2{)}^2+y_1^2}=(x_1+2)\sqrt{1+k^2}=\frac{6}{3+4k^2}\cdot 2\sqrt{1+k^2}=\frac{12\sqrt{1+k^2}}{3+4k^2}$。

(1) 当 $|AM|=|AN|$ 时，由于 $MA\perp NA$，$△AMN$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形。 此时三角形 $AMN$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}|AM|\cdot |AN|=\frac{1}{2}|AM{|}^2$。 通过斜率关系，直线 $AN$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$，同理可求出 $|AN|$，结合 $|AM|=|AN|$ 解得对应的 $k$ 值，进而算出面积 $S$。

(2) 当 $2|AM|=|AN|$ 时： 由 $MA\perp NA$，直线 $AN$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$，同理可表示出 $|AN|=\frac{12\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}{3+4{\left(-\frac{1}{k}\right)}^2}$。 由 $2|AM|=|AN|$ 代入化简，建立关于 $k$ 的等式，通过分析函数单调性或解不等式，严格证明 $\sqrt{3}<k<2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与椭圆联立、韦达定理、向量垂直与长度比值证明。
2. 核心方法：坐标参数化与方程根的分布法。
3. 避坑指南：在处理解析几何中的距离比例问题时，善于利用直线的斜率统一化简根式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何压轴题中常见的距离比值与参数范围证明题。
2. 结论推广：利用直角三角形边角关系转化线段长度是解决此类垂直问题的通用策略。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合

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