2016-四川卷文-15 填-命题

本题导读

本题考查平面直角坐标系中的点变换与新定义、命题真伪性的判定与反例构造，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 在平面直角坐标系中，当 $P(x,y)$ 不是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为 $P^{\prime }\left(\frac{y}{x^2+y^2},\frac{-x}{x^2+y^2}\right)$；当 $P$ 是原点时，定义 $P$ 的“伴随点”为它自身，平面曲线 $C$ 上所有点的“伴随点”所构成的曲线 $C^{\prime }$ 定义为曲线 $C$ 的“伴随曲线”，现有下列命题： ① 若点 $A$ 的“伴随点”是点 $A^{\prime }$，则点 $A^{\prime }$ 的“伴随点”是点 $A$； ② 单位圆上的“伴随点”仍在单位圆上； ③ 若两点关于 $x$ 轴对称，则它们的“伴随点”关于 $y$ 轴对称； ④ 若三点在同一直线上，则它们的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是$\underline{}$.（写出所有真命题的序列）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 ①：设点 $A(x,y)$（非原点），求出其伴随点 $A^{\prime }$ 的坐标，再求 $A^{\prime }$ 的伴随点，验证是否回到 $A$。
2. 分析命题 ②：设点在单位圆上 $x^2+y^2=1$，求其伴随点的坐标平方和是否仍为 1。
3. 分析命题 ③：设两点关于 $x$ 轴对称，即 $(x,y)$ 与 $(x,-y)$，分别求其伴随点坐标，检查横纵坐标关系是否关于 $y$ 轴对称。
4. 分析命题 ④：通过举反例（如过原点的直线或一般直线）验证三点共线时其伴随点是否一定共线。

✅【答案】

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②③（或写出

✍【详细解析】

Abstract

逐一审查四个命题：

• 命题 ①：设点 $A(x,y)$（非原点），其伴随点为 $A^{\prime }\left(\frac{y}{x^2+y^2},\frac{-x}{x^2+y^2}\right)$。 设 $x^{\prime }=\frac{y}{x^2+y^2},y^{\prime }=\frac{-x}{x^2+y^2}$，则 x^{\prime}^2 + y^{\prime}^2 = \frac{y^2 + x^2}{(x^2+y^2)^2} = \frac{1}{x^2+y^2}。 再求 $A^{\prime }(x^{\prime },y^{\prime })$ 的伴随点 $A^{\prime \prime }$： x^{\prime\prime} = \frac{y^{\prime}}{x^{\prime}^2+y^{\prime}^2} = \frac{\frac{-x}{x^2+y^2}}{\frac{1}{x^2+y^2}} = -x（等等，重新计算：$y^{\prime }=\frac{-x}{x^2+y^2}$ 对应分子为 $-x$，故 $x^{\prime \prime }=\frac{\frac{-x}{x^2+y^2}}{\frac{1}{x^2+y^2}}=-x$，与 $A$ 的横坐标相反，故命题 ① 为假命题）。
• 命题 ②：若点在单位圆上，则 $x^2+y^2=1$。 其伴随点坐标为 $P^{\prime }(y,-x)$（因为分母 $x^2+y^2=1$）。 计算伴随点的模平方：$y^2+(-x{)}^2=x^2+y^2=1$，故伴随点仍在单位圆上。命题 ② 为真命题。
• 命题 ③：设两点关于 $x$ 轴对称，分别为 $(x,y)$ 和 $(x,-y)$。 它们的伴随点分别为： $P_1^{\prime }\left(\frac{y}{x^2+y^2},\frac{-x}{x^2+y^2}\right)$ 和 $P_2^{\prime }\left(\frac{-y}{x^2+y^2},\frac{-x}{x^2+y^2}\right)$。 比较两伴随点的坐标：纵坐标相同（均为 $\frac{-x}{x^2+y^2}$），横坐标互为相反数，这说明它们的伴随点关于 $y$ 轴对称。命题 ③ 为真命题。
• 命题 ④：若三点在同一直线上，由于该变换类似于反演几何中的圆反演变换，直线的伴随曲线可能变成圆（当直线不过原点时），因此原直线上的三点经伴随变换后对应的三点一般不在同一直线上。命题 ④ 为假命题。

综上所述，真命题为 ②③。 故答案为：②③（或写出 ②③）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 新定义映射、点对称性、圆的反演变换几何性质。
2. 核心方法: 坐标直接代入法与反例排除法。
3. 避坑指南：第 ① 问中连续两次求伴随点时注意分子分母的正负号化简；第 ④ 问中直线过不过原点会直接影响其伴随图形是直线还是圆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何与新定义压轴填空题。
2. 结论推广: 该坐标变换在高等数学中对应复变函数中的反演变换 $w=\frac{-\mathrm{i}}{\bar{z}}$。

🔗【关联脉络】

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