2016-四川卷理-07 单-线性规划

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定、简单线性规划（平面区域的表示），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 设 $p$：实数 $x,y$ 满足 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2$，$q$：实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}y\ge x-1\\ y\ge 1-x\\ y\le 1\end{array}$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 必要不充分条件　　　　　　　　　　B. 充分不必要条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析命题 p 的区域： 不等式 $(x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2$ 表示以点 $(1,1)$ 为圆心，$\sqrt{2}$ 为半径的圆面（含边界）。
2. 分析命题 q 的区域： 不等式组 $\{\begin{array}{l}y\ge x-1\\ y\ge 1-x\\ y\le 1\end{array}$ 表示由三条直线围成的平面区域。

• 边界交点：$A(1,0)$，$B(2,1)$，$C(0,1)$。
• 该区域是一个底边为 2，高为 1 的三角形区域。

3. 判定包含关系：

• 记命题 $p$ 对应的集合为 $P$，命题 $q$ 对应的集合为 $Q$。
• 检查三角形的顶点是否都在圆面内：
  • $A(1,0)⟹(1-1{)}^2+(0-1{)}^2=1\le 2$（在圆内）
  • $B(2,1)⟹(2-1{)}^2+(1-1{)}^2=1\le 2$（在圆内）
  • $C(0,1)⟹(0-1{)}^2+(1-1{)}^2=1\le 2$（在圆内）
• 三角形 $Q$ 被包含在圆面 $P$ 之中，即 $Q⊊P$。

4. 得出逻辑结论：

• 因为 $Q⊊P$，所以 $q⟹p$ 但 $p/⟹q$。

• 因此 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 几何化表示： 命题 $p$ 对应的区域是以 $O^{\prime }(1,1)$ 为圆心，$R=\sqrt{2}$ 的圆盘。 命题 $q$ 对应的区域是直线 $y=x-1,y=1-x,y=1$ 所围成的三角形 $△ABC$。
2. 位置关系判定： 如图所示，圆面 $P$ 覆盖了整个三角形 $Q$。 由于 $Q\subset P$，根据逻辑推导关系：

• 当 $q$ 成立时，$p$ 一定成立，故 $q⟹p$。
• 当 $p$ 成立时，$q$ 不一定成立（圆内有很多点在三角形外），故 $p/⟹q$。

3. 结论： “$p$ 是 $q$ 的必要不充分条件”。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 充要条件与集合包含关系：

  • 若 $A\subseteq B$，则 $A$ 是 $B$ 的充分条件，$B$ 是 $A$ 的必要条件。
  • 若 $A=B$，则 $A,B$ 互为充要条件。

• 图形识别：线性规划题目中，三角形区域的顶点往往是判断包含关系的关键切入点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将命题 $q$ 修改为 $y\le 2$，则三角形区域会扩大，此时需要重新计算交点并带入圆方程检查，判断包含关系是否反转。
• 解题技巧：当无法直观判断包含关系时，可以取圆面边缘的特殊点（如 $(1,1+\sqrt{2})$）代入不等式组 $q$，若不满足，则说明 $p/⟹q$；再取三角形顶点代入 $p$ 验证充分性。
• 关联考点：本题可进一步延伸到面积比概率问题（如“在区域 $p$ 内任取一点，该点落在区域 $q$ 内的概率”）。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-05 单-线性规划
• 2017-全国卷III理-13 填-线性规划
• 2017-全国卷II文-07 单-线性规划

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