2016-四川卷理-13 填-三视图

本题导读

本题考查三视图（正视图的几何意义）、三棱锥的结构特征，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(理)） 已知三棱锥的四个面都是腰长为 $2$ 的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解读正视图：正视图是一个底边为 $2\sqrt{3}$，高为 $1$ 的等腰三角形。这意味着三棱锥的高 $h=1$，且底面有一条边长度为 $2\sqrt{3}$。
2. 分析侧面形状：已知四个面都是腰长为 $2$ 的等腰三角形。

• 侧面等腰三角形的腰为 $2$，底边（即底面三角形的边）分别为 $a,b,c$。
• 正视图显示底边之一为 $2\sqrt{3}$。验证：腰为 $2$ 的等腰三角形，底边最大可接近 $4$。底边为 $2\sqrt{3}$ 时，侧面三角形的高为 $\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1$。

3. 确定底面形状：

• 三棱锥的高为 $1$，顶点在底面的射影到各边的距离应符合侧面高的逻辑。
• 实际上，这个三棱锥可以看作：底面是一个腰长为 $2$，顶角为 $120^{\circ }$ 的等腰三角形（底边即为正视图中的 $2\sqrt{3}$），顶点投影恰好在底面该腰长为 $2$ 的两边交点（顶点）上吗？
• 修正思路：正视图的高为 $1$，且侧面腰长为 $2$。若底面是边长为 $2,2,2\sqrt{3}$ 的三角形，其面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin 120^{\circ }=\sqrt{3}$。此时顶点投影在何处能使正视图高为 $1$ 且侧棱长为 $2$？
• 若顶点在底面上的射影是底面等腰三角形底边的中点，则顶点到底面顶点的距离（侧棱）为 $\sqrt{1^2+(\text{中线长}{)}^2}$。

4. 体积计算：利用 $V=\frac{1}{3}{S}_{底}\cdot h$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定几何体尺寸： 由正视图可知，三棱锥的高 $h=1$。 正视图的底边长为 $2\sqrt{3}$，这对应三棱锥底面三角形的一条边。
2. 分析面特征： 三棱锥的四个面都是腰长为 $2$ 的等腰三角形。 对于底边为 $2\sqrt{3}$ 的那个面（假设为底面），其腰长为 $2$，则该面是一个顶角为 $120^{\circ }$ 的等腰三角形（因为 $\cos \theta =\frac{2^2+2^2-(2\sqrt{3}{)}^2}{2\cdot 2\cdot 2}=-\frac{1}{2}$）。 底面积 $S_{底}=\frac{1}{2}\times 2\times 2\times \sin 120^{\circ }=\sqrt{3}$。
3. 验证高与侧面： 当高 $h=1$ 时，若顶点投影在底面 $120^{\circ }$ 顶角的顶点上，侧棱长分别为 $h=1$（不对，侧棱应为 $2$）。 根据正视图，顶点在底面边 $2\sqrt{3}$ 上的投影是其中点。高 $h=1$ 且顶点到底面两端点距离均为 $2$（$\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2$），符合侧面腰长为 $2$ 的条件。
4. 计算体积： $V=\frac{1}{3}{S}_{底}\cdot h=\frac{1}{3}\times \sqrt{3}\times 1=\frac{\sqrt{3}}{3}$

故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 识图能力：正视图反映了物体的高度和左右宽度。在锥体中，正视图的高往往直接就是锥体的高。
• 等腰三角形性质：腰为 $2$，底为 $2\sqrt{3}$ 的三角形是解析此类题目的关键常数模型。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目给出的是侧视图，或者是正三角形底面，计算逻辑类似，但需注意投影点位置。
• 空间想象：此类题目可以通过将模型放入长方体或特殊的棱柱中来辅助想象。
• 关联考点：本题可进一步要求求该三棱锥的外接球表面积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$\surd 33$

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷II文-06 单-三视图
• 2017-全国卷II理-04 单-三视图

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