2016-天津卷理-05 单-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的性质（通项公式）、充分条件、必要条件的判定，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 设 $\{a_n\}$ 是首项为正数的等比数列，公比为 $q$，则 “$q<0$” 是 “对任意的正整数 $n$，$a_{2n-1}+a_{2n}<0$” 的 ()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析结论的本质： 利用等比数列通项公式 $a_n=a_1{q}^{n-1}$，将目标不等式展开： $a_{2n-1}+a_{2n}=a_1{q}^{2n-2}+a_1{q}^{2n-1}=a_1{q}^{2n-2}(1+q)$。
2. 验证充分性 ($q<0⟹a_{2n-1}+a_{2n}<0$)： 若 $q<0$，根据上述表达式，由于 $a_1>0$ 且 $q^{2n-2}>0$（偶次方），不等式的符号完全取决于 $(1+q)$。若 $q=-0.5$，则 $1+q>0$，结论不成立。
3. 验证必要性 ($a_{2n-1}+a_{2n}<0⟹q<0$)： 若对任意 $n$ 都有 $a_1{q}^{2n-2}(1+q)<0$，由于 $a_1{q}^{2n-2}>0$，必须满足 $1+q<0$，即 $q<-1$。由此可推导出 $q<0$ 是否成立。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 公式变形： 已知 $a_1>0$。对于任意正整数 $n$： $a_{2n-1}+a_{2n}=a_1{q}^{2n-2}+a_1{q}^{2n-1}=a_1{q}^{2n-2}(1+q)$。 由于 $a_1>0$ 且 $q^{2n-2}=(q^{n-1}{)}^2\ge 0$（当 $q\ne 0$ 时恒大于 0）， 所以 $a_{2n-1}+a_{2n}<0$ 等价于 $1+q<0$，即 $q<-1$。

2. 充分性判断： 若 $q<0$，不能推出 $q<-1$（例如 $q=-0.5$ 时，$a_{2n-1}+a_{2n}>0$）。 故充分性不成立。

3. 必要性判断： 若对任意 $n$，$a_{2n-1}+a_{2n}<0$ 成立，则必有 $q<-1$。 由 $q<-1$ 可以推出 $q<0$。 故必要性成立。

4. 结论： “$q<0$” 是 “对任意正整数 $n$，$a_{2n-1}+a_{2n}<0$” 的 必要而不充分条件。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 提取公因式法：在处理数列项的和时，提取最低次项 $a_{2n-1}$ 是分析符号的常用技巧。

• 逻辑包含关系：必要不充分条件对应于：结论 $⟹$ 条件，但条件 $/⟹$ 结论。在本题中，集合 $\{q\mid q<-1\}$ 是集合 $\{q\mid q<0\}$ 的真子集。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目改为 “$q<-1$” 是 “对任意正整数 $n$，$a_{2n-1}+a_{2n}<0$” 的什么条件？答案则是：充要条件。
• 易错警示：很多同学容易直观认为 $q<0$ 数列正负交替就一定会有和小于 0，忽略了公比绝对值大小（即 $q$ 与 $-1$ 的关系）对项大小的影响。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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