2016-天津卷理-19 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质（离心率）、直线与椭圆的位置关系（联立方程、韦达定理）。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1$ ($a>\sqrt{3}$) 的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$.已知 $\frac{1}{|OF|}+\frac{1}{|OA|}=\frac{3e}{|FA|}$，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $B$（$B$ 不在 $x$ 轴上），垂直于 $l$ 的直线与 $l$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴于点 $H$.若 $BF\perp HF$，且 $\angle MOA\le \angle MAO$，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：利用 $F(c,0),A(a,0),e=\frac{c}{a}$，将已知线段长度代入比例式。由 $c=\sqrt{a^2-3}$ 统一为关于 $a$ 的方程求解。
2. 第二问：

• 设线求点：设 $l:y=k(x-2)$，联立椭圆方程求出点 $B$ 的坐标（利用韦达定理）。
• 垂直转化：直线 $MH\perp l⟹k_{MH}=-1/k$。设 $M(x_0,y_0)$，求出 $H$ 的纵坐标。
• 条件代入：由 $BF\perp HF⟹\overrightarrow{BF}\cdot \overrightarrow{HF}=0$，整理得到关于 $x_0$ 与 $k$ 的关系。
• 角度关系：在 $△MAO$ 中，$\angle MOA\le \angle MAO⟹MA\le MO$。通过平方展开化简为 $x_0$ 的范围，进而求出 $k$ 的范围。

✅【答案】

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（1）设椭圆的半焦距为𝑐，则𝑐=|𝑂𝐹|，𝑎=|𝑂𝐴|，|𝐹𝐴|=𝑎−𝑐，且𝑒=𝑐𝑎.由题设1

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由题意得 $|OF|=c$，$|OA|=a$，$|FA|=a-c$，$e=\frac{c}{a}$。 代入 $\frac{1}{|OF|}+\frac{1}{|OA|}=\frac{3e}{|FA|}$ 得： $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{3c}{a(a-c)}$ $\frac{a+c}{ac}=\frac{3c}{a(a-c)}⟹(a+c)(a-c)=3c^2⟹a^2-c^2=3c^2⟹a^2=4c^2$。 又 $c^2=a^2-3$，代入得 $a^2=4(a^2-3)⟹3a^2=12⟹a^2=4$。 所以椭圆方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

（2）由（1）知 $A(2,0),F(1,0)$。设直线 $l:y=k(x-2)(k\ne 0)$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x-2)\\ 3x^2+4y^2=12\end{array}⟹(3+4k^2)x^2-16k^{2}x+16k^2-12=0$。 设 $B(x_1,y_1)$，已知 $A(2,0)$ 是一个交点，则 $2x_1=\frac{16k^2-12}{3+4k^2}$。 得 $x_1=\frac{8k^2-6}{3+4k^2}$，$y_1=k(x_1-2)=\frac{-12k}{3+4k^2}$。

设 $M(x_0,y_0)$。由于 $M$ 在直线 $l$ 上，则 $y_0=k(x_0-2)$。 因为 $MH\perp l$，斜率 $k_{MH}=-\frac{1}{k}$，直线 $MH:y-y_0=-\frac{1}{k}(x-x_0)$。 令 $x=0$，得 $H$ 的纵坐标 $y_H=y_0+\frac{x_0}{k}=k(x_0-2)+\frac{x_0}{k}=(k+\frac{1}{k})x_0-2k$。

已知 $BF\perp HF$，则 $\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FH}=0$。 $F(1,0),B(x_1,y_1),H(0,y_H)$。 $\overrightarrow{FB}=(x_1-1,y_1),\overrightarrow{FH}=(-1,y_H)$。 $(x_1-1)(-1)+y_1{y}_H=0⟹1-x_1+y_1{y}_H=0$。 代入 $x_1,y_1,y_H$ 整理得： $1-\frac{8k^2-6}{3+4k^2}-\frac{12k}{3+4k^2}[(k+\frac{1}{k})x_0-2k]=0$。 化简可求得 $x_0=\frac{9+20k^2}{12(k^2+1)}$。

由 $\angle MOA\le \angle MAO$，在 $△MAO$ 中，大角对大边，得 $MA\le MO$。 $M{A}^2\le M{O}^2⟹(x_0-2{)}^2+y_0^2\le x_0^2+y_0^2⟹x_0^2-4x_0+4\le x_0^2$。 得 $4x_0\ge 4⟹x_0\ge 1$。 代入 $x_0$ 表达式：$\frac{9+20k^2}{12(k^2+1)}\ge 1⟹9+20k^2\ge 12k^2+12⟹8k^2\ge 3⟹k^2\ge \frac{3}{8}$。 解得 $k\le -\frac{\sqrt{6}}{4}$ 或 $k\ge \frac{\sqrt{6}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 韦达定理的技巧：当已知直线过椭圆顶点时，联立后的方程必有一根为顶点的横坐标，可快速求出另一交点。
• 几何关系代数化：将“角度大小”转化为“边长大小”，再利用坐标表示距离，是解析几何中处理角度不等式的核心套路。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目条件改为 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，直线 $l$ 的斜率范围又当如何？

• 提示：直接利用中点坐标公式表示 $M$，无需再联立 $MH$。

• 常用结论：在解析几何中，两直线垂直 $k_1{k}_2=-1$ 与向量数量积为 $0$ 是等价且互补的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合

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