2016-江苏卷-12 填-线性规划

本题导读

本题考查线性规划、简单线性规划的应用，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 已知实数 $x,y$ 满足 $\{\begin{array}{l}x-2y+4\ge 0\\ 2x+y-2\ge 0\\ 3x-y-3\le 0\end{array}$，则 $x^2+y^2$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定可行域：在平面直角坐标系中画出不等式组表示的封闭三角形区域。
2. 明确几何意义：目标函数 $z=x^2+y^2$ 表示可行域内的点 $(x,y)$ 到原点 $(0,0)$ 的距离的平方。
3. 寻找最值点：

• 最大值：通常在可行域的顶点处取得，比较原点到三个顶点的距离。
• 最小值：若原点在区域外，则最小值为原点到可行域边界的垂线段长度的平方（需判断垂足是否在边上）或到顶点的最短距离。

4. 计算得出结论：求出对应长度并平方。

✅【答案】

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$[\frac{4}{5},13]$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 作图与求顶点： 由不等式组划出可行域（三角形区域），设其三个顶点为 $A,B,C$。

• 由 $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 3x-y-3=0\end{array}$ 解得 $A(2,3)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y-2=0\\ 3x-y-3=0\end{array}$ 解得 $B(1,0)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 2x+y-2=0\end{array}$ 解得 $C(0,2)$。

2. 求最大值： 计算原点 $O$ 到各顶点的距离平方： $|OA{|}^2=2^2+3^2=13$； $|OB{|}^2=1^2+0^2=1$； $|OC{|}^2=0^2+2^2=4$。 故最大值为 13。

3. 求最小值： 观察图象，原点到直线 $BC:2x+y-2=0$ 的距离可能最小。 原点到直线 $BC$ 的距离 $d=\frac{|2(0)+1(0)-2|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$。 检验垂足是否在 $BC$ 段：直线 $BC$ 的斜率为 $-2$，过原点的垂线斜率为 $\frac{1}{2}$，垂线方程为 $y=\frac{1}{2}x$。联立 $2x+\frac{1}{2}x-2=0$ 得 $x=\frac{4}{5}\in [0,1]$，垂足在边上。 故最小值为 $d^2=(\frac{2}{\sqrt{5}}{)}^2=\frac{4}{5}$。

4. 结论： $x^2+y^2$ 的取值范围是 $[\frac{4}{5},13]$。

故答案为：$[\frac{4}{5},13]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 非线性目标函数的常见意义：
  • $x^2+y^2$：到原点距离的平方。
  • $\frac{y-b}{x-a}$：过定点 $(a,b)$ 直线的斜率。
  • $ax+by+c$：截距相关的直线平移。
• 易错提醒：求最小值时，不能只看顶点。必须检查原点到各边的投影（垂足）是否落在该线段内，若不在，最小值则在端点取得。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 计算技巧： 本题中原点到三条边的距离分别为 $\frac{4}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{3}{\sqrt{10}}$。其中 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 是最短垂线段且垂足合法，故平方后为 $\frac{4}{5}$。
• 知识关联： 该问题本质上是圆族 $x^2+y^2=R^2$ 与多边形区域相交时，$R^2$ 的变化范围。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

$[45,13]$

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-05 单-线性规划
• 2017-全国卷III理-13 填-线性规划
• 2017-全国卷II文-07 单-线性规划

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