2016-江苏卷-16 解-立体几何

本题导读

本题考查直线与平面平行的判定、平面与平面垂直的判定。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 如图，在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$D$，$E$ 分别为 $AB$，$BC$ 的中点，点 $F$ 在侧棱 $B_{1}B$ 上，且 $B_{1}D\perp A_{1}F$，$A_1{C}_1\perp A_1{B}_1$. 求证：

(1)直线 $DE\parallel$ 平面 $A_1{C}_{1}F$；

(2)平面 $B_{1}DE\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}F$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：证明线面平行

• 寻找线线平行：在 $△ABC$ 中，$D,E$ 是中点，则 $DE$ 是中位线，有 $DE\parallel AC$。
• 平移转化：利用直三棱柱的性质，$AC\parallel A_1{C}_1$。
• 判定定理：根据“线线平行则线面平行”得出结论。

2. 第二问：证明面面垂直

• 核心目标：找到一条直线垂直于另一个平面。已知 $B_{1}D\perp A_{1}F$，若能证出 $A_{1}F\perp$ 平面 $B_{1}DE$ 即可。
• 线面垂直转化：由 $DE\parallel A_1{C}_1$ 及已知垂直关系证明 $DE\perp$ 侧面 $AB{B}_1{A}_1$，从而得到 $DE\perp A_{1}F$。
• 判定定理：由线面垂直推导面面垂直。

✅【答案】

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因此𝐵1𝐷⟂平面𝐴1𝐶1𝐹

✍【详细解析】

Abstract

证明： （1） 因为 $D,E$ 分别为 $AB,BC$ 的中点， 所以 $DE\parallel AC$。 在直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AC\parallel A_1{C}_1$， 所以 $DE\parallel A_1{C}_1$。 又因为 $A_1{C}_1\subset$ 平面 $A_1{C}_{1}F$，$DE\not\subset$ 平面 $A_1{C}_{1}F$， 所以 $DE\parallel$ 平面 $A_1{C}_{1}F$。

（2） 因为 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 是直三棱柱， 所以 $A{A}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$。 又 $A_1{C}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$， 所以 $A{A}_1\perp A_1{C}_1$。 已知 $A_1{C}_1\perp A_1{B}_1$，且 $A{A}_1\cap A_1{B}_1=A_1$， 所以 $A_1{C}_1\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。 由（1）知 $DE\parallel A_1{C}_1$， 所以 $DE\perp$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$。 因为 $A_{1}F\subset$ 平面 $AB{B}_1{A}_1$， 所以 $DE\perp A_{1}F$。 又已知 $B_{1}D\perp A_{1}F$，$DE\cap B_{1}D=D$，且 $DE,B_{1}D\subset$ 平面 $B_{1}DE$， 所以 $A_{1}F\perp$ 平面 $B_{1}DE$。 因为 $A_{1}F\subset$ 平面 $A_1{C}_{1}F$， 所以平面 $B_{1}DE\perp$ 平面 $A_1{C}_{1}F$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平行关系的“链式”转化：本题体现了“线线 $\to$ 线面”的转化。
• 垂直证明的“降维”思想：证明面面垂直通常需要转化为证明线面垂直，再转化为线线垂直。
• 直三棱柱的隐藏条件：侧棱垂直于底面，这一条件是证明第（2）问中线面垂直的重要前提。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合：
  • 向量法验证： 对于此类垂直平行题目，在高考中也可以建立空间直角坐标系，利用法向量的数量积为 0 来验证面面垂直，这在某些点坐标容易确定的情况下是非常稳妥的备选方案。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷I理-16 填-三棱锥
• 2014-上海卷理-19 解-棱锥的体积计算
• 2014-北京卷文-11 填-三视图棱长

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