2016-江苏卷-20 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项与求和、集合的新定义运算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 记 $U=\{1,2,\dots ,100\}$.对数列 $\{a_n\}$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$) 和 $U$ 的子集 $T$，若 $T=\varnothing$，定义 $S_T=0$；若 $T=\{t_1,t_2,\dots ,t_k\}$，定义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots +a_{t_k}$.

现设 $\{a_n\}$ 是公比为 3 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_T=30$.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 对任意正整数 $k$ ($1\le k\le 100$)，若 $T\subseteq \{1,2,\dots ,k\}$，求证：$S_T<a_{k+1}$；

(3) 设 $C\subseteq U$，$D\subseteq U$，$S_C\ge S_D$，求证：$S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：根据 $S_T=a_2+a_4=30$ 结合等比关系求出 $a_1$。
2. 第(2)问：当 $T$ 是 $\{1,2,\dots ,k\}$ 的子集时，$S_T$ 的最大值是该集合全部元素的和。利用等比数列前 $n$ 项和公式进行放缩证明。
3. 第(3)问：这是全卷最难点。

• 集合简化：利用集合减法，令 $A=C\setminus (C\cap D)$，$B=D\setminus (C\cap D)$。
• 等价转化：原命题转化为证明 $S_A\ge S_B⟹S_A\ge 2S_B$（注意 $A\cap B=\varnothing$）。
• 逻辑推理：利用第(2)问的结论，分析 $A$ 和 $B$ 中最大元素的大小关系，结合指数增长的特性进行证明。

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$S_A\ge 2S_B$ 成立

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) 因为 $\{a_n\}$ 是公比 $q=3$ 的等比数列，$T=\{2,4\}$ 时 $S_T=a_2+a_4=30$。 则 $a_1\cdot 3^1+a_1\cdot 3^3=3a_1+27a_1=30a_1=30$。 解得 $a_1=1$。 故通项公式为 $a_n=3^{n-1}$。

(2) 证明：若 $T\subseteq \{1,2,\dots ,k\}$，则 $S_T$ 最大为 $a_1+a_2+\cdots +a_k$。 $S_T\le {\sum }_{i=1}^k{3}^{i-1}=\frac{1(3^k-1)}{3-1}=\frac{3^k-1}{2}$。 而 $a_{k+1}=3^k$。 $\frac{3^k-1}{2}<3^k$ 对所有 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ 成立。 所以 $S_T<a_{k+1}$。

(3) 证明：设 $A=C\setminus (C\cap D)$，$B=D\setminus (C\cap D)$。 则 $A\cap B=\varnothing$，$S_C=S_A+S_{C\cap D}$，$S_D=S_B+S_{C\cap D}$。 要证 $S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$， 即证 $S_A+S_{C\cap D}+S_{C\cap D}\ge 2(S_B+S_{C\cap D})$， 简化得证明：$S_A\ge 2S_B$。 由已知 $S_C\ge S_D⟹S_A\ge S_B$。 ① 若 $B=\varnothing$，则 $S_B=0$，不等式 $S_A\ge 2S_B$ 成立。 ② 若 $B\ne \varnothing$，由于 $S_A\ge S_B>0$，故 $A\ne \varnothing$。 设 $A$ 中最大元素为 $l$，$B$ 中最大元素为 $m$。 如果 $m\ge l+1$，则根据第(2)问结论，任意 $A\subseteq \{1,\dots ,l\}$ 有 $S_A<a_{l+1}\le a_m\le S_B$。 这与 $S_A\ge S_B$ 矛盾。因此必有 $l\ge m$。 又因为 $A\cap B=\varnothing$，所以 $l\ne m$，即 $l\ge m+1$。 则 $S_A\ge a_l\ge a_{m+1}=3^m$。 由第(2)问知 $S_B\le \frac{3^m-1}{2}$。 则 $2S_B\le 3^m-1<3^m\le a_l\le S_A$。 即 $S_A>2S_B$。 综上所述，$S_A\ge 2S_B$ 成立。 故 $S_C+S_{C\cap D}\ge 2S_D$ 获证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 指数级的“统治力”：本题核心在于理解 $3^{n-1}$ 增长极快，前面所有项的和都赶不上下一项的一半。这是计算机二进制/三进制权重的数学基础。
• 集合的结构化处理：通过 $C\cap D$ 将集合拆分，是处理复合集合问题的通用技巧。
• 压轴题的心态：第(3)问需要建立在第(2)问结论的深刻理解之上，如果无法将 $S_T<a_{k+1}$ 灵活运用到 $l$ 与 $m$ 的大小判断中，很难突破。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 理论关联：本题涉及的性质与“超递增序列”（Superincreasing sequence）有关。这种序列在早期的背包加密算法中有着重要应用。

• 变式思考：若公比改为 2，第(2)问的结论会变成 $S_T<a_{k+1}$ 依然成立吗？（提示：$2^k-1<2^k$ 依然成立，但 $S_A\ge 2S_B$ 的倍数关系会发生改变）。

• 可视化理解： 可以想象一排砝码，每个重是前一个的3倍。如果你在左盘放一个最重的砝码，右盘放满所有比它轻的砝码，左盘依然稳稳下沉。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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