2016-江苏卷-22 解-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知直线 $l:x-y-2=0$，抛物线 $C:y^2=2px$ ($p>0$).

(1)若直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点，求抛物线 $C$ 的方程；

(2)已知抛物线 $C$ 上存在关于直线 $l$ 对称的相异两点 $P$ 和 $Q$：

① 求证：线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$；

② 求 $p$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：求出直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点，即为抛物线的焦点 $(\frac{p}{2},0)$，从而解得 $p$。
2. 第二问 ①：

• 垂直条件：$P,Q$ 关于 $l$ 对称，则直线 $PQ\perp l$，故 $k_{PQ}=-1$。
• 点差法：设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，代入曲线方程作差，可求出中点纵坐标 $y_M$。
• 中点条件：中点 $M$ 必在直线 $l$ 上，将 $y_M$ 代入 $l$ 的方程求出 $x_M$。

3. 第二问 ②：

• 存在性转化：存在相异两点，意味着以 $y_1,y_2$ 为根的一元二次方程有两个不相等的实数根。
• 构建方程：利用韦达定理（和与积的关系）构建方程，利用 $\Delta >0$ 求解 $p$ 的范围。

✅【答案】

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（1）抛物线𝑦2=2𝑝𝑥可写成𝑦2=4⋅𝑝2𝑥，所以其焦点为(𝑝2,0).由直线𝑙∶𝑥−𝑦−2=

✍【详细解析】

Abstract

解： （1）直线 $l:x-y-2=0$ 与 $x$ 轴的交点坐标为 $(2,0)$。 由题意，抛物线 $C$ 的焦点为 $(2,0)$，则 $\frac{p}{2}=2$，解得 $p=4$。 所以抛物线 $C$ 的方程为 $y^2=8x$。

（2）证明 ①： 设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，线段 $PQ$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$。 因为 $P,Q$ 关于直线 $l:y=x-2$ 对称， 所以 $PQ\perp l$，则 $k_{PQ}=-1$。 又 $y_1^2=2p{x}_1,y_2^2=2p{x}_2$，两式相差得： $(y_1-y_2)(y_1+y_2)=2p(x_1-x_2)⟹k_{PQ}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2p}{y_1+y_2}$。 由 $k_{PQ}=-1$ 得 $\frac{2p}{2y_0}=-1⟹y_0=-p$。 因为中点 $M(x_0,y_0)$ 在直线 $l:x-y-2=0$ 上， 所以 $x_0-(-p)-2=0⟹x_0=2-p$。 故线段 $PQ$ 的中点坐标为 $(2-p,-p)$。

② 由 ① 知 $y_1+y_2=2y_0=-2p$。 又 $x_1+x_2=\frac{y_1^2}{2p}+\frac{y_2^2}{2p}=\frac{(y_1+y_2{)}^2-2y_1{y}_2}{2p}$。 由中点横坐标 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}=2-p$，得 $x_1+x_2=4-2p$。 代入得：$\frac{(-2p{)}^2-2y_1{y}_2}{2p}=4-2p$ $4p^2-2y_1{y}_2=8p-4p^2⟹2y_1{y}_2=8p^2-8p⟹y_1{y}_2=4p^2-4p$。 则 $y_1,y_2$ 是关于 $y$ 的方程 $y^2-(y_1+y_2)y+y_1{y}_2=0$ 的两根， 即 $y^2+2py+4p^2-4p=0$。 因为 $P,Q$ 是相异两点，所以 $\Delta >0$： $\Delta =(2p{)}^2-4(4p^2-4p)=4p^2-16p^2+16p=-12p^2+16p>0$。 解得 $3p^2-4p<0⟹p(3p-4)<0$。 又 $p>0$，所以 $0<p<\frac{4}{3}$。 故 $p$ 的取值范围是 $(0,\frac{4}{3})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 对称问题的处理：垂直（斜率乘积为 -1）与平分（中点在对称轴上）是解决此类问题的两把钥匙。
• 点差法的优势：在涉及中点坐标和斜率时，点差法可以避开复杂的二次方程求根，直接建立 $k$ 与 $x_M,y_M$ 的关系。
• 判别式的必要性：很多同学在求出参数关系后会漏掉 $\Delta >0$ 的限制，导致范围扩大。凡是提到“相异两点”或“存在性”，必须检验判别式。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合：
• 规律总结：对于 $y^2=2px$ 与 $x-y+m=0$ 对称的两点问题，中点的纵坐标仅与 $p$ 和直线的斜率有关，与截距无关。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线
• 2017-全国卷III理-20 解-抛物线
• 2017-全国卷II文-12 单-抛物线

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