2016-浙江卷文-17 解-等比数列

本题导读

本题考查数列递推关系与前 $n$ 项和的关系、等比数列的通项公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.已知 $S_2=4$，$a_{n+1}=2S_n+1,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 求通项公式 $a_n$；

(2) 求数列 $\{|a_n-n-2|\}$ 的前 $n$ 项和.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用递推关系 $a_{n+1}=2S_n+1$ 与 $a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$ 作差消去 $S_n$，得到 $a_{n+1}=3a_n$，并结合 $S_2=a_1+a_2=4$ 及 $a_2=2S_1+1=2a_1+1$ 求出首项和公比，进而得出通项公式。
2. 第 (2) 问：设 $b_n=a_n-n-2$，根据 $a_n$ 的表达式分析 $b_n$ 的正负性，利用绝对值的性质去绝对值符号，采用分组求和法求出前 $n$ 项和。

✅【答案】

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(1) $a_n=3^{n-1}$； (2) $T_n=\{\begin{array}{ll}2,& n=1\\ 3,& n=2\\ \frac{3^n-n^2-5n+11}{2},& n⩾3\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求通项公式 $a_n$： 已知 $a_{n+1}=2S_n+1(n\ge 1)$。 当 $n\ge 2$ 时，$a_n=2S_{n-1}+1$。 两式相减得： $a_{n+1}-a_n=2(S_n-S_{n-1})=2a_n⟹a_{n+1}=3a_n(n\ge 2)$。 说明数列 $\{a_n\}$ 从第二项起是公比为 3 的等比数列。 对于 $n=1$ 时，$a_2=2S_1+1=2a_1+1$。 又因为 $S_2=a_1+a_2=4$， 所以 $a_1+(2a_1+1)=4⟹3a_1=3⟹a_1=1$。 代入验证 $a_2=2(1)+1=3$，满足 $a_2=3a_1=3$。 因此，数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$。

(2) 求数列 $\{|a_n-n-2|\}$ 的前 $n$ 项和： 设 $c_n=a_n-n-2=3^{n-1}-n-2$。 分析 $c_n$ 的正负性：

• 当 $n=1$ 时，$c_1=3^0-1-2=1-3=-2$；
• 当 $n=2$ 时，$c_2=3^1-2-2=3-4=-1$；
• 当 $n=3$ 时，$c_3=3^2-3-2=9-5=4>0$；
• 当 $n\ge 3$ 时，$3^{n-1}-n-2>0$ 恒成立。 因此：
• 当 $n=1,2$ 时，$c_n<0⟹|c_n|=-c_n=(n+2)-3^{n-1}$；
• 当 $n\ge 3$ 时，$c_n\ge 0⟹|c_n|=c_n=3^{n-1}-n-2$。 设数列 $\{|c_n|\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$：
• 当 $n=1$ 时，$T_1=|-2|=2$；
• 当 $n=2$ 时，$T_2=|-2|+|-1|=3$；
• 当 $n\ge 3$ 时，$T_n=(|c_1|+|c_2|)+{\sum }_{k=3}^n{c}_k=3+{\sum }_{k=3}^n(3^{k-1}-k-2)$。 利用等比数列求和公式与等差数列求和公式化简即可得到最终的前 $n$ 项和表达式。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 递推关系求通项、$S_n$ 与 $a_n$ 转化、绝对值数列求和。
2. 核心方法: 作差法求通项、分类讨论去绝对值与分组求和法。
3. 避坑指南：利用 $a_{n+1}-a_n=2a_n$ 求公比时，切记该结论仅对 $n\ge 2$ 成立，首项 $a_1$ 必须通过初始条件（如 $S_2=4$）单独验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考数列解答题的经典核心题型。
2. 结论推广: 含有绝对值的数列求和问题，必须先研究通项的正负分界点，然后进行区间分类求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-14 填-等比数列
• 2017-全国卷II理-03 单-等比数列
• 2017-全国卷I文-17 解-等比数列

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