2016-浙江卷理-07 单-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质（离心率）、双曲线的标准方程与几何性质（离心率），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知椭圆 $C_1:\frac{x^2}{m^2}+y^2=1$ ($m>1$) 与双曲线 $C_2:\frac{x^2}{n^2}-y^2=1$ ($n>0$) 的焦点重合，$e_1,e_2$ 分别为 $C_1,C_2$ 的离心率，则 ()

A. $m>n$ 且 $e_1{e}_2>1$　　　　　　　　　B. $m>n$ 且 $e_1{e}_2<1$

C. $m<n$ 且 $e_1{e}_2>1$　　　　　　　　　D. $m<n$ 且 $e_1{e}_2<1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用“焦点重合”：椭圆和双曲线的焦距一半 $c$ 相同。

• 椭圆 $C_1$: $a^2=m^2,b^2=1$，则 $c^2=m^2-1$。
• 双曲线 $C_2$: $a^2=n^2,b^2=1$，则 $c^2=n^2+1$。

2. 建立 $m$ 与 $n$ 的关系：由 $m^2-1=n^2+1$ 得到 $m^2-n^2=2$，从而判断 $m$ 与 $n$ 的大小。
3. 分析离心率乘积：

• 椭圆离心率 $e_1=\frac{c}{m}$。
• 双曲线离心率 $e_2=\frac{c}{n}$。
• 计算 $(e_1{e}_2{)}^2=\frac{c^4}{m^2{n}^2}$，并将 $c^2$ 用 $m,n$ 表示进行化简比较。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定参数关系： 因为 $C_1$ 与 $C_2$ 的焦点重合， 对于椭圆 $C_1$，半焦距的平方 $c^2=m^2-1$； 对于双曲线 $C_2$，半焦距的平方 $c^2=n^2+1$。 所以 $m^2-1=n^2+1$，整理得 $m^2-n^2=2$。 由于 $2>0$，故 $m^2>n^2$，即 $m>n$。排除 C、D。

2. 计算离心率乘积： $e_1=\frac{c}{m}$，$e_2=\frac{c}{n}$。 则 $(e_1{e}_2{)}^2=\frac{c^4}{m^2{n}^2}$。 代入 $c^2=m^2-1$ 和 $c^2=n^2+1$： $(e_1{e}_2{)}^2=\frac{(m^2-1)(n^2+1)}{m^2{n}^2}=\frac{m^2{n}^2+m^2-n^2-1}{m^2{n}^2}$。 将 $m^2-n^2=2$ 代入上式： $(e_1{e}_2{)}^2=\frac{m^2{n}^2+2-1}{m^2{n}^2}=\frac{m^2{n}^2+1}{m^2{n}^2}=1+\frac{1}{m^2{n}^2}$。 因为 $m,n$ 均为正数，所以 $1+\frac{1}{m^2{n}^2}>1$。 故 $e_1{e}_2>1$。

综上所述，$m>n$ 且 $e_1{e}_2>1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 焦距公式的区分：椭圆是 $c^2=a^2-b^2$，双曲线是 $c^2=a^2+b^2$。本题中 $b^2$ 恰好都为 $1$ 是简化计算的关键。

• 离心率的乘积处理：直接比较 $e_1{e}_2$ 较难时，可以通过平方后进行代数化简，利用已知等量关系消除变量。

• 几何意义：离心率反映圆锥曲线的扁平程度。共焦点的椭圆与双曲线，其离心率具有一定的互补或制约关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若椭圆与双曲线不仅共焦点，还过同一个点 $P(x_0,y_0)$，离心率之间会有什么固定的数值关系吗？
  • 提示：可利用圆锥曲线的定义，结合点 $P$ 到焦点的距离进行推导，这常涉及二级结论。
• 常用结论：对于共焦点的椭圆（长轴 $2a_1$）和双曲线（实轴 $2a_2$），若焦距为 $2c$，则 $e_1=\frac{c}{a_1},e_2=\frac{c}{a_2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-06 填-双曲线
• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合

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