2016-浙江卷理-09 填-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的定义（第一定义）、抛物线的几何性质（准线方程），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 若抛物线 $y^2=4x$ 上的点 $M$ 到焦点的距离为 $10$，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 解析抛物线方程：由标准方程 $y^2=2px=4x$ 确定参数 $p$ 的值。
2. 定位准线：根据 $p$ 值写出准线方程。对于开口向右的抛物线，准线在 $y$ 轴左侧。
3. 利用定义转化：

• 抛物线定义：$|MF|=d$（点 $M$ 到准线的距离）。
• 已知 $|MF|=10$，则点 $M$ 到准线 $x=-p/2$ 的距离也是 $10$。

4. 计算目标距离：点 $M(x,y)$ 到准线 $x=-1$ 的距离为 $x+1$。求出 $x$ 以后，点 $M$ 到 $y$ 轴的距离即为横坐标 $x$。

✅【答案】

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9

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求基本参数： 抛物线方程为 $y^2=4x$，对比标准形式 $y^2=2px$，得 $2p=4$，即 $p=2$。

2. 确定准线方程： 该抛物线的焦点在 $x$ 轴正半轴，准线方程为 $x=-\frac{p}{2}=-1$。

3. 应用抛物线定义： 设点 $M$ 的横坐标为 $x$。根据抛物线定义，点 $M$ 到焦点的距离等于点 $M$ 到准线 $x=-1$ 的距离。

即：$|x-(-1)|=10⟹x+1=10$。 解得 $x=9$。

4. 得出结论： 点 $M(9,y)$ 到 $y$ 轴的距离即为其横坐标的绝对值 $|x|=9$。

故答案为 9

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 定义是“捷径”：很多同学会尝试设点 $M(x,y)$ 代入距离公式 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=10$，再联立 $y^2=4x$，虽然能算出来，但计算量远大于直接使用定义。
• 空间位置感：要清楚 $x$（到 $y$ 轴距离）、$x+p/2$（到准线距离/焦半径）之间的逻辑关系。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若抛物线改为 $x^2=4y$，点 $M$ 到焦点的距离为 $10$，求 $M$ 到 $x$ 轴的距离？
  • 提示：此时准线为 $y=-1$，根据定义 $y+1=10$，得到到 $x$ 轴距离为 $9$。
• 常用公式总结：
  • 对于 $y^2=2px$，焦半径 $r=x_0+\frac{p}{2}$。
  • 对于 $y^2=-2px$，焦半径 $r=-x_0+\frac{p}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-20 解-抛物线
• 2017-全国卷III理-20 解-抛物线
• 2017-全国卷II文-12 单-抛物线

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