2016-浙江卷理-11 填-三视图

本题导读

本题考查三视图（识图与空间想象）、组合几何体的表面积与体积计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 某几何体的三视图如图所示（单位：$\text{cm}$），则该几何体的表面积是 $\underline{}$ ${\text{cm}}^2$，体积是 $\underline{}$ ${\text{cm}}^3$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 空间模型还原：

• 俯视图：呈现“L”型，说明底层由 3 个正方形组成。
• 正、侧视图：均显示在某个角上还有一层。
• 结论：该几何体由 4 个棱长为 $2\text{cm}$ 的小正方体 组合而成。

2. 体积计算：总体积 = 4 $\times$ 单个小正方体体积。
3. 表面积计算：

• 投影法：对于此类由正方体堆砌且无凹陷、无遮挡的组合体，其表面积 $S=2\times (S_{\text{正视图}}+S_{\text{侧视图}}+S_{\text{俯视图}})$。这种方法能自动处理所有外露的面，且计算简洁。

✅【答案】

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72；32

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 分析三视图还原几何体： 该几何体是由 4 个棱长为 $a=2\text{cm}$ 的小正方体搭建而成的组合体。 具体结构：底层有 3 个小正方体，呈“L”型摆放；上层有 1 个小正方体，堆叠在转角处正方体的上方。

2. 计算体积 $V$： 单个正方体体积 $V_0=2^3=8{\text{cm}}^3$。 总块数为 4 块，故体积 $V=4\times 8=32{\text{cm}}^3$。

3. 计算表面积 $S$：

• 正视图面积：由 3 个边长为 2 的正方形组成，$S_{\text{正}}=3\times 2^2=12{\text{cm}}^2$。
• 侧视图面积：由 3 个边长为 2 的正方形组成，$S_{\text{侧}}=3\times 2^2=12{\text{cm}}^2$。
• 俯视图面积：由 3 个边长为 2 的正方形组成，$S_{\text{俯}}=3\times 2^2=12{\text{cm}}^2$。 利用投影面积法： $S=2\times (12+12+12)=2\times 36=72{\text{cm}}^2$ （另解：4 个正方体共 $4\times 6=24$ 个面，共有 3 处接触面，每处接触面重叠了 2 个面，故表面积为 $(24-3\times 2)\times 2^2=18\times 4=72{\text{cm}}^2$）。

故答案为 72；32

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 还原的逻辑：俯视图定基底，正侧视图定高度。本题的“L”型基底是识图的突破口。
• 表面积捷径：三向投影面积和的两倍是计算正方体组合体表面积最稳健的方法。
• 单位规范：填空题需注意题目要求的单位，本题已给出 ${\text{cm}}^2$ 和 ${\text{cm}}^3$，填入数值即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果在这个几何体的转角处再增加一个小正方体，体积和表面积会如何变化？
  • 提示：体积增加 $8{\text{cm}}^3$；表面积则取决于新增加正方体覆盖的面数与新增外露面数之差。
• 三视图规则：长对正，高平齐，宽相等。在处理复杂视图时，利用这九字真言校对尺寸是必经之路。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷II文-06 单-三视图
• 2017-全国卷II理-04 单-三视图

专题合集 (Series)