2016-浙江卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查直线与平面垂直的判定与性质、二面角的平面角及其求法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 如图，在三棱台 $ABC-DEF$ 中，已知平面 $BCFE\perp$ 平面 $ABC$，$\angle ACB=90^{\circ }$，$BE=EF=FC=1$，$BC=2$，$AC=3$.

(1)求证：$BF\perp$ 平面 $ACFD$；

(2)求二面角 $B-AD-F$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（证明 $EF\perp$ 平面 $ACFD$）：

• 模型补全：棱台的侧棱延长后必交于一点 $K$。由 $EF//BC$ 且 $EF=\frac{1}{2}BC$，可知 $E,F$ 分别是 $BK,CK$ 的中点。
• 寻找垂直关系：已知面面垂直，且 $\angle ACB=90^{\circ }$ 即 $AC\perp BC$，可推导出 $AC\perp$ 侧面 $BCK$。
• 关键步骤：证明 $EF$（或 $CK$ 方向）与侧面内的 $BF$ 垂直，再结合 $AC\perp EF$ 即可得证。

2. 第二问（二面角余弦值）：

• 几何法：寻找二面角的棱 $AD$（即 $AK$），过 $F$ 作 $AK$ 的垂线，再利用第一问的垂直关系证明二面角的平面角。
• 向量法：建立空间直角坐标系。选取 $BC$ 中点 $O$ 建立坐标原点，利用法向量夹角公式计算。这种方法逻辑清晰，适合计算能力强的同学。

✅【答案】

点击查看答案

第（1）问𝐵𝐹⟂平面𝐴𝐶𝐹𝐷；第（2）问二面角𝐵−𝐴𝐷−𝐹的平面角的余弦值为√34.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明：

延长 $AD,BE,CF$ 相交于点 $K$。 因为 $EF//BC$ 且 $EF=1,BC=2$，所以 $F$ 为 $CK$ 的中点，且 $FC=FK=1,CK=2$。 在侧面 $BCFE$ 中，$BE=EF=FC=1$，易证 $△BCK$ 是边长为 2 的等边三角形。 由于 $F$ 是 $CK$ 中点，故 $BF\perp CK$，即 $BF\perp CF$。 又平面 $BCFE\perp$ 平面 $ABC$，平面 $BCFE\cap$ 平面 $ABC=BC$。 因为 $AC\subset$ 平面 $ABC$ 且 $AC\perp BC$，所以 $AC\perp$ 平面 $BCFE$。 因为 $BF\subset$ 平面 $BCFE$，所以 $AC\perp BF$。 又 $AC\cap CF=C$，故 $BF\perp$ 平面 $ACFD$。 由于 $EF//BC$，而在台体中 $EF\perp BF$ 并不直接，观察结论：原题(1)中应为求证 $BF\perp$ 平面 $ACFD$（对应解析过程）。

(2)解（空间向量法）：

取 $BC$ 中点 $O$，连接 $KO$。因为 $△BCK$ 是等边三角形，所以 $KO\perp BC$。 又平面 $BCK\perp$ 平面 $ABC$，故 $KO\perp$ 平面 $ABC$。 以 $O$ 为原点，$OB$ 为 $x$ 轴，$OK$ 为 $z$ 轴，过 $O$ 平行于 $CA$ 的方向为 $y$ 轴建立空间直角坐标系。 则 $B(1,0,0),C(-1,0,0),K(0,0,\sqrt{3}),A(-1,-3,0)$。 由此可得：$\overrightarrow{AC}=(0,3,0)$，$\overrightarrow{AK}=(1,3,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AB}=(2,3,0)$。

1. 求平面 $ACFD$（即平面 $ACK$）的法向量 $\vec{m}$： 设 $\vec{m}=(x_1,y_1,z_1)$，由 $\vec{m}\cdot \overrightarrow{AC}=0,\vec{m}\cdot \overrightarrow{AK}=0$ 得： $3y_1=0$ 且 $x_1+3y_1+\sqrt{3}{z}_1=0$。 取 $\vec{m}=(\sqrt{3},0,-1)$。
2. 求平面 $ABD$（即平面 $ABK$）的法向量 $\vec{n}$： 设 $\vec{n}=(x_2,y_2,z_2)$，由 $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0,\vec{n}\cdot \overrightarrow{AK}=0$ 得： $2x_2+3y_2=0$ 且 $x_2+3y_2+\sqrt{3}{z}_2=0$。 取 $\vec{n}=(3,-2,\sqrt{3})$。
3. 计算余弦值： $\cos ⟨\vec{m},\vec{n}⟩=\frac{\vec{m}\cdot \vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{3\sqrt{3}+0-\sqrt{3}}{2\times 4}=\frac{2\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{4}$ 由图可知二面角 $B-AD-F$ 为锐角，故其余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 棱台的处理技巧：**“还台为锥”**是解决棱台问题最常用的辅助手段，通过比例关系确定各点位置。
• 坐标系选取的优选：在面面垂直的背景下，寻找交线及其垂线作为坐标轴是最稳妥的。
• 法向量指向：二面角的余弦值正负由图形的开口方向（钝角或锐角）决定，向量法计算后务必结合图形校核。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求点 $E$ 到平面 $ACFD$ 的距离，该如何利用法向量计算？
  • 提示：利用公式 $d=\frac{|\overrightarrow{CE}\cdot \vec{m}|}{|\vec{m}|}$。
• 常用结论：等边三角形中心或中点通常是垂足的落点；线面垂直是求二面角和空间距离的逻辑基石。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-17 解-立体几何综合
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量

专题合集 (Series)