2017-全国卷I理-16 填-三棱锥

本题导读

本题考查三棱锥的体积公式，以及折叠问题中的位置关系。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 如图，圆形纸片的圆心为 $O$，半径为 $5\text{ cm}$，该纸片上的等边三角形 $ABC$ 的中心为 $O$.$D,E,F$ 为圆 $O$ 上的点，$△DBC,△ECA,△FAB$ 分别是以 $BC,CA,AB$ 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以 $BC,CA,AB$ 为折痕折起 $△DBC,△ECA,△FAB$，使得 $D,E,F$ 重合，得到一个三棱锥.当 $△ABC$ 的边长变化时，所得三棱锥体积的最大值为 $\underline{}$ ${\text{cm}}^3$.

🔍【思路分析】

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1. 几何体特征：折叠后 $D,E,F$ 重合于一点（设为 $P$），且 $△ABC$ 为底面。由于 $ABC$ 是等边三角形且 $P$ 到三边的距离相等（侧面是全等的等腰三角形），故 $P$ 在底面的投影落在 $△ABC$ 的中心 $O$ 上。
2. 建立变量关系：

• 设等边三角形 $ABC$ 的边长为 $x$。
• 底面积 $S_{△ABC}=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$。
• 设 $M$ 为 $BC$ 中点，则 $OM=\frac{\sqrt{3}}{6}x$，$AM=\frac{\sqrt{3}}{2}x$。

3. 确定高 $h$：

• 在圆中，$D$ 到 $O$ 的距离为半径 $R=5$。$MD=OD-OM=5-\frac{\sqrt{3}}{6}x$。
• 折叠后，$MD$ 变为侧面等腰三角形的高（斜高），$h=\sqrt{M{D}^2-O{M}^2}$。

4. 体积函数：$V(x)=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h$。对该函数求导找最大值。

✅【答案】

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$4\sqrt{15}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $25$

【解析过程】 第一步：参数表达 设等边三角形 $ABC$ 的内切圆半径为 $r$（即 $OM$），外接圆半径为 $R_{abc}$（即 $OA$）。 由边长 $x$ 可得：$r=\frac{\sqrt{3}}{6}x$。 则 $MD=5-r$。 折叠后，顶点 $P$ 在底面的投影为 $O$，在 $\text{Rt}△POM$ 中： $h=PO=\sqrt{M{D}^2-O{M}^2}=\sqrt{(5-r{)}^2-r^2}=\sqrt{25-10r}$。 （注意范围：$h>0\Rightarrow 0<r<2.5$）。

第二步：建立体积关于 $r$ 的函数 底面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2$。由于 $x=2\sqrt{3}r$， 所以 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}(12r^2)=3\sqrt{3}{r}^2$。 体积 $V=\frac{1}{3}\cdot 3\sqrt{3}{r}^2\cdot \sqrt{25-10r}=\sqrt{3}\cdot r^2\sqrt{25-10r}$。

第三步：求导找最值 为简化计算，设 $y=\frac{V^2}{3}=r^4(25-10r)=25r^4-10r^5$。 $y^{\prime }=100r^3-50r^4=50r^3(2-r)$。 令 $y^{\prime }=0$，得 $r=2$（此时 $r<2.5$，符合题意）。 当 $0<r<2$ 时，$y^{\prime }>0$；当 $2<r<2.5$ 时，$y^{\prime }<0$。 故当 $r=2$ 时，$V$ 取得最大值。

第四步：代入计算 当 $r=2$ 时： $h=\sqrt{25-10\times 2}=\sqrt{5}$。 $S=3\sqrt{3}\times 2^2=12\sqrt{3}$。 $V_{\max }=\frac{1}{3}\times 12\sqrt{3}\times \sqrt{5}=4\sqrt{15}$。 修正：重新核对计算过程。 若 $V=\sqrt{3r^4(25-10r)}$， 当 $r=2$，$V=\sqrt{3\cdot 16\cdot (25-20)}=\sqrt{3\cdot 16\cdot 5}=\sqrt{240}=4\sqrt{15}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 折叠不变性：折叠前 $MD$ 是三角形的高，折叠后变成斜高。
• 投影位置：等腰侧面 + 等边底面 $\Rightarrow$ 顶点投影在中心。
• 函数简化：在求导时，对 $V^2$ 或去掉常数项后的式子求导，能大幅降低计算复杂度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1958-安徽-04 解-三棱锥中截面新锥体积
• 1983-全国文-11 解-三棱锥的体积
• 1987-全国文-18 解-三棱锥的体积