2017-全国卷II文-14 填-函数的奇偶性

本题导读

考查抽象或分段奇函数在不同区间上解析式的转化与求值，属于基础题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$f(x)=2x^3+x^2$，则 $f(2)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇函数的定义 $f(-x)=-f(x)$，将求正数处函数值 $f(2)$ 转化为求负数处函数值 $-f(-2)$。
2. 代入已知负半轴的解析式计算。

✅【答案】

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12

✍【详细解析】

Abstract

因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数， 所以满足 $f(-2)=-f(2)$，即 $f(2)=-f(-2)$。 因为 $-2\in (-\infty ,0)$，可直接代入当 $x\in (-\infty ,0)$ 时的解析式 $f(x)=2x^3+x^2$： $f(-2)=2(-2{)}^3+(-2{)}^2=2(-8)+4=-16+4=-12$. 因此： $f(2)=-f(-2)=-(-12)=12$. 故答案为：12.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇函数性质 $f(-x)=-f(x)$。
2. 核心方法：自变量取相反数转化法。
3. 避坑指南：代入求值时切勿直接将正数代入负半轴解析式，必须先通过奇偶性转换。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考函数奇偶线性质常考题。
2. 结论推广: 若 $f(x)$ 为奇函数且在原点有定义，则 $f(0)=0$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-24 单-函数的奇偶性
• 1987-广东理-23 单-函数的奇偶性
• 1988-上海-13 单-函数的奇偶性