2017-全国卷II文-20 解-轨迹方程

本题导读

本题考查动点轨迹方程的求解，以及利用向量数量积证明直线过定点。核心在于用代入法消去动点 $M$。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}$.

(1) 求点 $P$ 的轨迹方程；

(2) 设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$.证明：过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：设 $P(x,y)$、$M(x_0,y_0)$，由 $\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}$ 建立 $x,y$ 与 $x_0,y_0$ 的关系，代入椭圆方程消去 $x_0,y_0$。
2. 第(2)问：设 $Q(-3,t)$、$P(m,n)$，由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$ 结合轨迹方程推出 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{PF}=0$，从而 $OQ\perp PF$。

✅【答案】

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(1) $x^2+y^2=2$

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $P(x,y)$、$M(x_0,y_0)$，则 $N(x_0,0)$。 $\overrightarrow{NP}=(x-x_0,y)$，$\overrightarrow{NM}=(0,y_0)$。 由 $\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}$，得 $x-x_0=0$，$y=\sqrt{2}{y}_0$，即 $x_0=x$，$y_0=\frac{y}{\sqrt{2}}$。 因为 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆 $C$ 上，所以 $\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$。 代入得 $\frac{x^2}{2}+{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}\right)}^2=1$，即 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1$。 故点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=2$。

(2) 椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点为 $F(-1,0)$。 设 $Q(-3,t)$、$P(m,n)$，则 $\overrightarrow{OQ}=(-3,t)$，$\overrightarrow{PF}=(-1-m,-n)$，$\overrightarrow{PQ}=(-3-m,t-n)$，$\overrightarrow{OP}=(m,n)$。 由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$，得 $m(-3-m)+n(t-n)=1$，即 $-3m-m^2+tn-n^2=1$。 又由(1)知 $m^2+n^2=2$，代入得 $-3m+tn-2=1$，即 $-3m+tn=3$，故 $3m-tn=-3$。 于是 $\overrightarrow{OQ}\cdot \overrightarrow{PF}=(-3)(-1-m)+t(-n)=3+3m-tn=3+(3m-tn)=3-3=0$。 所以 $OQ\perp PF$，即 $PF$ 垂直于 $OQ$。 又过点 $P$ 存在唯一直线垂直于 $OQ$，故过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 必过 $C$ 的左焦点 $F$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：代入法求轨迹、椭圆焦点、向量数量积。
2. 核心方法：设出动点坐标，用关系式消参；用数量积为零证垂直。
3. 避坑指南：第(2)问中要正确写出 $\overrightarrow{PQ}=Q-P$ 的坐标，符号勿错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解析几何轨迹与定点问题。
2. 结论推广：证明直线过定点，常转化为证明某两向量数量积为零。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-23 解-轨迹方程
• 1994-全国卷文-24 解-轨迹方程
• 2019-全国卷II理-21 解-轨迹方程