2017-全国卷II理-20 解-轨迹方程

本题导读

本题考查轨迹方程的求解。核心在于相关点法、向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(理)） 设 $O$ 为坐标原点，动点 $M$ 在椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 上，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $N$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}$.

(1)求点 $P$ 的轨迹方程；

(2)设点 $Q$ 在直线 $x=-3$ 上，且 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$.证明：过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 过 $C$ 的左焦点 $F$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（轨迹方程）：

• 坐标设定：设 $P(x,y)$，$M(x_0,y_0)$。
• 建立联系：由 $M$ 到 $x$ 轴垂足为 $N$，可知 $N(x_0,0)$。由 $\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}$ 可得出 $x=x_0$，$y=\sqrt{2}{y}_0$。
• 代回方程：将 $x_0,y_0$ 用 $x,y$ 表示后代入椭圆 $C$ 的方程，化简即得。

2. 第二问（证明过定点）：

• 基本信息：左焦点 $F(-c,0)=(-1,0)$。
• 向量建模：设 $Q(-3,t)$，$P(m,n)$。利用 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$ 建立关于 $m,n,t$ 的等式。
• 目标转化：要证明直线 $l$ 过 $F$ 且 $l\perp OQ$，等价于证明 $\overrightarrow{PF}\perp \overrightarrow{OQ}$，即证明 $\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{OQ}=0$。
• 代数演算：将已知等式与 $m^2+n^2=2$ 结合，证明目标数量积为 0。

✅【答案】

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(1) $x^2+y^2=2$

(2) 证明见解析（直线 $l$ 过左焦点 $F(-1,0)$）

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 设 $P(x,y)$，$M(x_0,y_0)$，则 $N(x_0,0)$。 $\overrightarrow{NP}=(x-x_0,y)$，$\overrightarrow{NM}=(0,y_0)$。 由 $\overrightarrow{NP}=\sqrt{2}\overrightarrow{NM}$ 得： $\{\begin{array}{l}x-x_0=0\\ y=\sqrt{2}{y}_0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}_0=x\\ y_0=\frac{y}{\sqrt{2}}\end{array}$ 因为点 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆 $C$ 上，所以 $\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$。 代入得：$\frac{x^2}{2}+{\left(\frac{y}{\sqrt{2}}\right)}^2=1\Rightarrow \frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}=1$。 即点 $P$ 的轨迹方程为 $x^2+y^2=2$。

(2)证明： 由椭圆 $C:\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 可知 $a^2=2,b^2=1$，则 $c=\sqrt{2-1}=1$。 所以左焦点 $F(-1,0)$。 设 $P(m,n)$，$Q(-3,t)$，则 $m^2+n^2=2$。 $\overrightarrow{OP}=(m,n)$，$\overrightarrow{PQ}=(-3-m,t-n)$。 由 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{PQ}=1$ 得： $m(-3-m)+n(t-n)=1$ $-3m-m^2+nt-n^2=1$ $-3m-(m^2+n^2)+nt=1$ 由于 $m^2+n^2=2$，代入上式得： $-3m-2+nt=1\Rightarrow nt-3m=3$ ①

要证明直线 $l$ 过 $F$，只需证 $\overrightarrow{PF}\perp \overrightarrow{OQ}$（因为 $l\perp OQ$）。 $\overrightarrow{PF}=(-1-m,-n)$，$\overrightarrow{OQ}=(-3,t)$。 $\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{OQ}=(-1-m)(-3)+(-n)(t)$ $=3+3m-nt$ 由 ① 式可知 $nt-3m=3$，即 $3m-nt=-3$。 代入得：$\overrightarrow{PF}\cdot \overrightarrow{OQ}=3+(-3)=0$。 所以 $\overrightarrow{PF}\perp \overrightarrow{OQ}$。 故过点 $P$ 且垂直于 $OQ$ 的直线 $l$ 必过 $C$ 的左焦点 $F$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 相关点法求轨迹：当动点随另一个已知曲线上的动点运动时，用“待求点”表示“已知点”并代入原方程是万能套路。
• 向量法简化垂直证明：在解析几何中，处理垂直关系时，向量数量积为 0 往往比斜率乘积为 $-1$ 更具通用性（可避开斜率不存在的讨论）。
• 数式变形的敏感度：本题第二问成功的关键在于发现 $m^2+n^2=2$ 这一隐含条件对化简数量积的作用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-23 解-轨迹方程
• 1994-全国卷文-24 解-轨迹方程
• 2019-全国卷II理-21 解-轨迹方程