2017-全国卷III文-09 单-圆柱

本题导读

本题考查圆柱内接于球的几何性质，以及圆柱体积的计算。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） 已知圆柱的高为 $1$，它的两个底面的圆周在直径为 $2$ 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()

A. $\pi$　　　　　　　B. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 球的直径为 $2$，故球半径 $R=1$。
2. 圆柱高 $h=1$，球心到圆柱底面距离 $d=\frac{h}{2}=\frac{1}{2}$。
3. 由 $R^2=r^2+d^2$ 求出底面半径 $r$，再代入体积公式。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

球半径 $R=1$，圆柱高 $h=1$，球心到圆柱底面距离 $d=\frac{h}{2}=\frac{1}{2}$。 设底面半径为 $r$，则 $R^2=r^2+d^2$，即 $1=r^2+\frac{1}{4}$，故 $r^2=\frac{3}{4}$。 圆柱体积 $V=\pi r^{2}h=\pi \times \frac{3}{4}\times 1=\frac{3\pi }{4}$。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的截面性质、勾股定理、圆柱体积公式。
2. 核心方法：轴截面分析法。
3. 避坑指南：球心到圆柱底面的距离是圆柱高的一半，勿把高直接当距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何球与圆柱切接经典题。
2. 结论推广：若圆柱高为 $h$，外接球半径为 $R$，则底面半径 $r=\sqrt{R^2-\frac{h^2}{4}}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1954-全国-05 解-圆锥圆柱全面积比求高母线比
• 1958-北京-10 解-圆柱圆锥倒水等高问题
• 1960-全国-02 解-圆柱内接长方体