2017-全国卷III文-15 填-正弦定理

本题导读

本题考查正弦定理，以及已知两边一角解三角形求角。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)） $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，已知 $C=60^{\circ }$，$b=\sqrt{6}$，$c=3$，则 $A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$ 求 $\sin B$。
2. 由 $b<c$ 知 $B<C$，确定 $B$ 的值。
3. 由 $A=180^{\circ }-B-C$ 求 $A$。

✅【答案】

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$75^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$，得 $\frac{\sqrt{6}}{\sin B}=\frac{3}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2\sqrt{3}$。 故 $\sin B=\frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 因为 $b=\sqrt{6}<3=c$，所以 $B<C=60^{\circ }$，故 $B=45^{\circ }$。 于是 $A=180^{\circ }-B-C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$。 故答案为：$75^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、三角形内角和。
2. 核心方法：正弦定理边角互化。
3. 避坑指南：由 $\sin B=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 得到 $B=45^{\circ }$ 或 $135^{\circ }$，需结合 $b<c$ 舍去 $135^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形基础题。
2. 结论推广：已知两边及其一边对角，可用正弦定理求角，注意解的个数判断。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2009-广东卷文-07 单-正弦定理
• 2013-北京卷文-05 单-正弦定理
• 2013-北京卷理-15 解-正弦定理