2017-全国卷III文-19 解-线线垂直

本题导读

本题考查四面体中垂直关系的证明，以及体积比的计算。核心在于利用等腰三角形与直角三角形的性质证明线线垂直。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(文)）如图，四面体 $A B C D$ 中， $△ A B C$ 是正三角形， $A D = C D$ .

(1) 证明： $A C ⊥ B D$ ；

(2) 已知 $△ A C D$ 是直角三角形， $A B = B D$ ，若 $E$ 为棱 $B D$ 上与 $D$ 不重合的点，且 $A E ⊥ E C$ ，求四面体 $A B C E$ 与四面体 $A C D E$ 的体积比.

🔍【思路分析】

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第(1)问：取 $A C$ 中点 $O$ ，证明 $A C ⊥ B O$ 且 $A C ⊥ D O$ ，从而 $A C ⊥$ 平面 $B D O$ 。

第(2)问：利用 $A E ⊥ E C$ 确定 $E$ 的位置，结合 $A B = B D$ 及直角三角形条件计算 $E$ 分 $B D$ 的比例，体积比等于底面积（或高）之比。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 取 $A C$ 的中点 $O$ ，连接 $B O$ 、 $D O$ 。因为 $△ A B C$ 是正三角形，所以 $A C ⊥ B O$ ；因为 $A D = C D$ ， $△ A C D$ 为等腰三角形，所以 $A C ⊥ D O$ 。又 $B O \cap D O = O$ ，故 $A C ⊥$ 平面 $B D O$ 。因为 $B D \subset$ 平面 $B D O$ ，所以 $A C ⊥ B D$ 。

(2) 取 $A C$ 的中点 $O$ ，以 $O$ 为原点建立空间直角坐标系。设 $A C = 2$ ，则 $A (- 1, 0, 0)$ ， $C (1, 0, 0)$ 。 $△ A B C$ 是正三角形，故 $B$ 在 $A C$ 的垂直平分面上， $B O = 3$ ，可取 $B (0, 3, 0)$ 。 $△ A C D$ 是等腰直角三角形（ $A D = C D$ ，直角在 $D$ ）， $A C$ 为斜边，故 $D$ 也在 $A C$ 的垂直平分面上，且 $O D = 1$ ，可取 $D (0, 0, 1)$ 。此时 $A B = 1 + 3 = 2$ ， $B D = 3 + 1 = 2$ ，满足 $A B = B D$ 。设 $E$ 在 $B D$ 上， $E = B + t (D - B) = (0, 3 (1 - t), t)$ ，其中 $0 \leq t \leq 1$ 。 $A E = (1, 3 (1 - t), t)$ ， $E C = (1, - 3 (1 - t), - t)$ 。由 $A E ⊥ E C$ ，得 $A E \cdot E C = 0$ ： $1 - 3 (1 - t)^{2} - t^{2} = 0$ ，即 $2 t^{2} - 3 t + 1 = 0$ ，解得 $t = \frac{1}{2}$ 或 $t = 1$ 。因为 $E$ 与 $D$ 不重合，故 $t = \frac{1}{2}$ ，即 $E$ 是 $B D$ 的中点。四面体 $A B C E$ 与 $A C D E$ 共底 $△ A C E$ ，且 $B$ 、 $D$ 到平面 $A C E$ 的距离之比等于 $B E : D E = 1 : 1$ 。故体积比 $\frac{V _{A B C E}}{V _{A C D E}} = 1$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线线垂直证明、空间几何体体积比。

核心方法：等腰三角形”三线合一”、共底体积比转底边长比。

避坑指南：第(1)问要找准”三线合一”的两条高线，进而证明线面垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：高考立体几何垂直与体积综合题。

结论推广：共底的两个四面体体积比等于第三个顶点到底面的距离之比。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

2014-辽宁卷理-19 解-线线垂直

2018-天津卷文-17 解-线线垂直

1988-广东文-32 解-四棱锥的体积与线线垂直

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2017-全国卷III文-19 解-线线垂直

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