2017-北京卷理-16 解-二面角

本题导读

本题考查线面平行的性质定理。核心在于坐标法、几何证明法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 为正方形，平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，点 $M$ 在线段 $PB$ 上，$PD\parallel$ 平面 $MAC$，$PA=PD=\sqrt{6}$，$AB=4$.

(1)求证：$M$ 为 $PB$ 的中点；

(2)求二面角 $B-PD-A$ 的大小；

(3)求直线 $MC$ 与平面 $BDP$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面平行性质）：利用 $PD\parallel$ 平面 $MAC$，寻找包含 $PD$ 的平面与平面 $MAC$ 的交线。连接 $AC,BD$ 交于点 $E$，则平面 $PBD\cap$ 平面 $MAC=ME$。由性质定理得 $PD\parallel ME$，再结合 $E$ 是 $BD$ 中点即可证明。
2. 第二问（二面角）：

• 建系：取 $AD$ 中点 $O$，由于 $PA=PD$，$PO\perp AD$。又面面垂直，得 $PO\perp$ 底面。以 $O$ 为原点，$OA$ 为 $x$ 轴，$OE$ 为 $y$ 轴，$OP$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 求法向量：分别求出平面 $PBD$ 的法向量 $\vec{n}$ 和平面 $PAD$ 的法向量 $\vec{p}$。
• 计算：利用 $\cos \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{p}|}{|\vec{n}||\vec{p}|}$ 求出夹角。

3. 第三问（线面角）：

• 求出点 $M$ 和点 $C$ 的坐标，得到向量 $\overrightarrow{MC}$。
• 利用公式 $\sin \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{MC}|}$ 计算正弦值。

✅【答案】

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（1）𝑀为𝑃𝐵的中点.（2）二面角𝐵−𝑃𝐷−𝐴的大小为60∘.（3）正弦值为2√69.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 设 $AC\cap BD=E$，连接 $ME$。 因为 $PD\parallel$ 平面 $MAC$，$PD\subset$ 平面 $PBD$，平面 $PBD\cap$ 平面 $MAC=ME$， 所以 $PD\parallel ME$。 因为底面 $ABCD$ 是正方形，所以 $E$ 为 $BD$ 的中点。 在 $△PBD$ 中，因为 $E$ 是 $BD$ 中点且 $ME\parallel PD$， 所以 $M$ 为 $PB$ 的中点。

(2)解： 取 $AD$ 中点 $O$，连接 $OP$。因为 $PA=PD=\sqrt{6}$，$AD=4$，所以 $OP\perp AD$，$OP=\sqrt{(\sqrt{6}{)}^2-2^2}=\sqrt{2}$。 又平面 $PAD\perp$ 平面 $ABCD$，交线为 $AD$，所以 $OP\perp$ 平面 $ABCD$。 以 $O$ 为原点，建立空间直角坐标系 $O-xyz$（如图）。 则 $P(0,0,\sqrt{2})$，$D(-2,0,0)$，$A(2,0,0)$，$B(2,4,0)$，$C(-2,4,0)$。 $\overrightarrow{PD}=(-2,0,-\sqrt{2})$，$\overrightarrow{BD}=(-4,-4,0)$。 设平面 $BDP$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$， $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{PD}=-2x-\sqrt{2}z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{BD}=-4x-4y=0\end{array}$，令 $x=1$，则 $y=-1,z=-\sqrt{2}$。得 $\vec{n}=(1,-1,-\sqrt{2})$。 平面 $PAD$ 的法向量可取 $\vec{p}=(0,1,0)$。 $\cos ⟨\vec{n},\vec{p}⟩=\frac{-1}{1\times 2}=-\frac{1}{2}$。 由于二面角 $B-PD-A$ 为锐角（观察图形），其大小为 $\frac{\pi }{3}$。

(3)解： 由(1)知 $M$ 是 $PB$ 中点，坐标为 $M(1,2,\frac{\sqrt{2}}{2})$。 又 $C(-2,4,0)$，所以 $\overrightarrow{MC}=(-3,2,-\frac{\sqrt{2}}{2})$。 设直线 $MC$ 与平面 $BDP$ 所成角为 $\alpha$， $\sin \alpha =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{MC}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{MC}|}=\frac{|1(-3)+(-1)2+(-\sqrt{2})(-\frac{\sqrt{2}}{2})|}{2\times \sqrt{9+4+\frac{1}{2}}}=\frac{|-3-2+1|}{2\times \sqrt{\frac{27}{2}}}=\frac{4}{2\times \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{6}}{9}$。 所以直线 $MC$ 与平面 $BDP$ 所成角的正弦值为 $\frac{2\sqrt{6}}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 几何建模：平面 $PAD$ 垂直底面且是等腰三角形，这为寻找垂直关系提供了极大的便利。
• 法向量方向：在求二面角时，向量夹角的余弦值可能为负，需根据图形判断二面角是锐角还是钝角。
• 计算细节：空间向量题目公式简单，但坐标提取和根式运算极易出错，务必细心。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比“几何法”求二面角的步骤：

1. 找：利用三垂线定理找到二面角的平面角。
2. 证：证明该角确实是平面角。
3. 算：在三角形中解出度数。 对于本题，由于存在明显的垂直坐标系，向量法通常比几何法更稳健。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 1958-北京-07 解-二面角内点到棱的距离
• 1958-湖南-08 解-二面角平分面的等距性