2017-天津卷文-18 解-错位相减

本题导读

考查等差、等比数列基本量计算以及综合数列的错位相减求和法，属于高考数列解答题的核心压轴题。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 为等差数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ( $n \in N^{*}$ )， ${b_{n}}$ 是首项为 2 的等比数列，且公比大于 0， $b_{2} + b_{3} = 12$ ， $b_{3} = a_{4} - 2 a_{1}$ ， $S_{11} = 11 b_{4}$ .

(1) 求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2) 求数列 ${a_{2 n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 ( $n \in N^{*}$ ).

🔍【思路分析】

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第(1)问：先利用等比数列 ${b_{n}}$ 的首项和 $b_{2} + b_{3} = 12$ 求出公比 $q$ （注意公比大于 0），从而得到 ${b_{n}}$ 的通项公式。再利用 $S_{11} = 11 b_{4}$ 和 $b_{3} = a_{4} - 2 a_{1}$ 结合等差数列性质建立方程组，求出 ${a_{n}}$ 的首项和公差。

第(2)问：根据 ${a_{n}}$ 的通项写出 $a_{2 n}$ ，进而写出新数列 ${a_{2 n} b_{n}}$ 的通项公式，观察其为“等差 × 等比”形式，选用标准的错位相减法求和。

✅【答案】

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𝑎𝑛=3𝑛−2，𝑏𝑛=2𝑛，数列{𝑎2𝑛𝑏𝑛}的前𝑛项和为(3𝑛−4)2𝑛+2+16.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设等比数列 ${b_{n}}$ 的公比为 $q$ ( $q > 0$ )，首项 $b_{1} = 2$ 。由 $b_{2} + b_{3} = 12$ 可得： $2 q + 2 q^{2} = 12 ⟹ q^{2} + q - 6 = 0 ⟹ (q + 3) (q - 2) = 0$ 。因为公比大于 0，所以 $q = 2$ ，故 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = 2 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n}$ 。设等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 。由等差数列前 $n$ 项和性质知： $S_{11} = 11 a_{6}$ ，已知 $S_{11} = 11 b_{4}$ ，其中 $b_{4} = 2^{4} = 16$ ，所以 $11 a_{6} = 11 \times 16 ⟹ a_{6} = 16$ ，即 $a_{1} + 5 d = 16$ ①。又由 $b_{3} = a_{4} - 2 a_{1}$ ，其中 $b_{3} = 2^{3} = 8$ ，所以 $a_{4} - 2 a_{1} = 8 ⟹ (a_{1} + 3 d) - 2 a_{1} = 8 ⟹ 3 d - a_{1} = 8$ ②。联立①②方程组： ${a_{1} + 5 d = 16 - a_{1} + 3 d = 8$ 两式相加得： $8 d = 24 ⟹ d = 3$ ，代入①得： $a_{1} = 16 - 5 (3) = 1$ 。因此，等差数列的通项公式为 $a_{n} = 1 + (n - 1) \cdot 3 = 3 n - 2$ ；等比数列的通项公式为 $b_{n} = 2^{n}$ 。

(2) 由(1)知 $a_{n} = 3 n - 2$ ，则 $a_{2 n} = 3 (2 n) - 2 = 6 n - 2$ 。因此新数列的通项为： $a_{2 n} b_{n} = (6 n - 2) \cdot 2^{n} = (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ 。设其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则： $T_{n} = 2 \cdot 2^{1} + 5 \cdot 2^{2} + 8 \cdot 2^{3} + \dots + (3 n - 1) \cdot 2^{n}$ ① $2 T_{n} = 2 \cdot 2^{2} + 5 \cdot 2^{3} + \dots + (3 n - 4) \cdot 2^{n} + (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ ② ① - ② 得： $- T_{n} = 4 + [3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2^{3} + \dots + 3 \cdot 2^{n}] - (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ $= 4 + \frac{3 \cdot 2 ^{2} ( 1 - 2 ^{n - 1} )}{1 - 2} - (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ $= 4 + 12 (2^{n - 1} - 1) - (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ $= 4 + 6 \cdot 2^{n} - 12 - (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ $= 6 \cdot 2^{n} - 8 - (3 n - 1) \cdot 2^{n + 1}$ $= (3 - (3 n - 1)) \cdot 2^{n + 1} - 8$ （通过化简各项系数） $= (4 - 3 n) \cdot 2^{n + 1} - 8$ 。两边取负号整理得： $T_{n} = (3 n - 4) \cdot 2^{n + 1} + 8$ 。故数列 ${a_{2 n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $(3 n - 4) \cdot 2^{n + 1} + 8$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差/等比数列基本量方程组求解、错位相减法求和。

核心方法：利用 $S_{11} = 11 a_{6}$ 简化运算。

避坑指南：错位相减法相减时，注意项数对齐及末项指数的准确保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 高考数列解答题中常考的基本量与错位相减综合题。

结论推广: 遇到 $S_{2 n + 1}$ 或 $S_{2 m + 1}$ 等奇数项和时，可直接利用中项公式 $S_{2 m + 1} = (2 m + 1) a_{m + 1}$ 提高解题效率。

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