2017-天津卷理-11 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线与圆的位置关系。

📌【题干】

Question

（2017年天津卷(理)） 在极坐标系中，直线 $4\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{6})+1=0$ 与圆 $\rho =2\sin \theta$ 的公共点的个数为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化直线方程： 利用两角差的余弦公式展开 $4\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{6})+1=0$。 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 转化为直角坐标方程。
2. 转化圆方程： 将 $\rho =2\sin \theta$ 等号两边同乘以 $\rho$ 得到 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$。 代入 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 得到圆的标准方程，并确定圆心和半径。
3. 判定位置关系： 计算圆心到直线的距离 $d$，将其与半径 $r$ 进行比较：

• 若 $d<r$，则有 2 个公共点；
• 若 $d=r$，则有 1 个公共点；
• 若 $d>r$，则有 0 个公共点。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

【答案】 2 【解析过程】

1. 直线方程转化： $4\rho (\cos \theta \cos \frac{\pi }{6}+\sin \theta \sin \frac{\pi }{6})+1=0$ $4\rho (\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \theta +\frac{1}{2}\sin \theta )+1=0$ $2\sqrt{3}\rho \cos \theta +2\rho \sin \theta +1=0$ 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，得直角坐标方程： $2\sqrt{3}x+2y+1=0$。

2. 圆方程转化： 由 $\rho =2\sin \theta$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$， 所以 $x^2+y^2=2y⟹x^2+(y-1{)}^2=1$。 该圆的圆心为 $C(0,1)$，半径 $r=1$。

3. 距离计算与判定： 圆心 $C(0,1)$ 到直线 $2\sqrt{3}x+2y+1=0$ 的距离： $d=\frac{|2\sqrt{3}\times 0+2\times 1+1|}{\sqrt{(2\sqrt{3}{)}^2+2^2}}=\frac{3}{\sqrt{12+4}}=\frac{3}{4}$。 因为 $d=\frac{3}{4}<1$（即 $d<r$）， 所以直线与圆相交，公共点个数为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 互化公式：核心公式是 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta ,x^2+y^2={\rho }^2$。
• 化简技巧：看到 $\rho =2\sin \theta$ 或 $\rho =2\cos \theta$ 类方程，优先考虑两边同乘 $\rho$。
• 极坐标问题在高考中属于选考或基础填空内容，难度通常不高。习惯于将所有问题拉回到直角坐标系（Cartesian system）中处理是最稳妥的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若直线方程改为 $4\rho \cos (\theta -\frac{\pi }{6})+5=0$，公共点个数会变吗？（提示：重新计算 $d=\frac{7}{4}>1$，结果变为 0 个）。
2. 知识关联：本题考查了选修 4-4 的内容。掌握极坐标下的距离公式 ${\rho }_1^2+{\rho }_2^2-2{\rho }_1{\rho }_2\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)$ 也能解决某些特定极坐标问题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-广东卷文-14 填-极坐标
• 2018-全国卷I文-22 解-极坐标
• 2018-全国卷I理-22 解-极坐标