2017-山东卷文-16 解-古典概型

本题导读

考查古典概型概率计算，涉及组合数的综合应用及分类抽样概率模型。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(文)） 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 $A_1,A_2,A_3$ 和 3 个欧洲国家 $B_1,B_2,B_3$ 中选择 2 个国家去旅游.

(1) 若从这 6 个国家中任选 2 个，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率；

(2) 若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 $A_1$ 但不包括 $B_1$ 的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：总基本事件总数是从 6 个国家中任选 2 个的组合数 $C_6^2$；满足条件的基本事件是从 3 个亚洲国家中任选 2 个的组合数 $C_3^2$。利用古典概型公式求解。
2. 第(2)问：从亚洲国家（3个）中任选 1 个，欧洲国家（3个）中任选 1 个。分步计算总情况数；再计算满足“包括 $A_1$ 但不包括 $B_1$”的情况数，利用分步乘法原理求解概率。

✅【答案】

点击查看答案

第（1）问为15；第（2）问为29.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 从 6 个国家中任选 2 个，基本事件总数为： $n=C_6^2=\frac{6\times 5}{2}=15$ 种。 设“这 2 个国家都是亚洲国家”为事件 $M$， 则事件 $M$ 包含的基本事件数为： $m=C_3^2=3$ 种。 因此，这 2 个国家都是亚洲国家的概率为： $P(M)=\frac{m}{n}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$。

(2) 从亚洲国家（3个）和欧洲国家（3个）中各任选 1 个，基本事件总数为： $N=C_3^1\times C_3^1=3\times 3=9$ 种。 设“这 2 个国家包括 $A_1$ 但不包括 $B_1$”为事件 $N$， 分析事件 $N$ 包含的情况： ① 选出的亚洲国家是 $A_1$（1 种选择），欧洲国家从 $B_2,B_3$ 中选 1 个（2 种选择），此时满足条件，共有 $1\times 2=2$ 种； ② 选出的亚洲国家是 $A_2$ 或 $A_3$（2 种选择），欧洲国家选了 $B_1$（1 种选择），此时不满足“不包括 $B_1$”的条件（舍去）。 因此，满足条件的基本事件数为： $n^{\prime }=1\times 2=2$ 种。 故所求概率为： $P(N)=\frac{n^{\prime }}{N}=\frac{2}{9}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型、组合数公式、分步计数原理。
2. 核心方法：列举法与组合公式直接计算法。
3. 避坑指南：区分“从总体中任选多个”与“分类别各选一个”的不同计数模型，避免重复或遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考概率统计解答题第一问的标准古典概型。
2. 结论推广: 涉及多类别选择的概率问题，通常利用分步乘法原理确定分母与分子。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-10 填-古典概型
• 2004-福建文-18 解-古典概型
• 2005-上海卷文-08 填-古典概型