2017-山东卷理-08 单-古典概型

本题导读

本题考查古典概型，以及分步乘法计数原理。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 从分别标有 $1,2,\dots ,9$ 的 9 张卡片中不放回地随机抽取 2 次，每次抽取 1 张.则抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同的概率是 ()

A. $\frac{5}{18}$　　　　　　B. $\frac{4}{9}$　　　　　　C. $\frac{5}{9}$　　　　　　D. $\frac{7}{9}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析样本空间：标有 $1$ 到 $9$ 的卡片共有 9 张。不放回抽取 2 次，总的基本事件数为 $A_9^2=9\times 8=72$ 种（考虑顺序）或 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=36$ 种（不考虑顺序）。
2. 分类计数：

• 奇数卡片有：$1,3,5,7,9$，共 5 张。
• 偶数卡片有：$2,4,6,8$，共 4 张。
• “奇偶性不同”意味着抽到“一奇一偶”。

3. 计算概率：

• 若考虑顺序：情况包括（奇，偶）和（偶，奇）。
• 若不考虑顺序：情况为从 5 张奇数中选 1 张，从 4 张偶数中选 1 张。
• 概率 $P=\frac{\text{符合条件的事件数}}{\text{总基本事件数}}$。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 在 1 到 9 这 9 个数字中，奇数有 $1,3,5,7,9$ 共 5 个，偶数有 $2,4,6,8$ 共 4 个。

方法一（不考虑顺序，组合法）： 总基本事件数为从 9 张卡片中任取 2 张，即 $n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}\right)=\frac{9\times 8}{2}=36$。 抽到的 2 张卡片奇偶性不同，即一张奇数、一张偶数，事件数为 $m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=5\times 4=20$。 则所求概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{20}{36}=\frac{5}{9}$。

方法二（考虑顺序，排列法）： 总基本事件数为从 9 张卡片中不放回取 2 张的排列，即 $n=A_9^2=9\times 8=72$。 抽到的 2 张卡片奇偶性不同，分为（先奇后偶）或（先偶后奇）两类：

• 先奇后偶：$5\times 4=20$ 种；
• 先偶后奇：$4\times 5=20$ 种； 则事件总数为 $m=20+20=40$。 所求概率 $P=\frac{40}{72}=\frac{5}{9}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 古典概型核心：概率 $P=\frac{m}{n}$，关键在于 $m$ 和 $n$ 必须采用同一种计数标准（要么都考虑顺序，要么都不考虑）。
• 奇偶个数分配：$1$ 到 $n$ 的正整数中，若 $n$ 为奇数，则奇数比偶数多 1 个；若 $n$ 为偶数，则两者相等。本题中 $n=9$，奇数 5 个，偶数 4 个。
• 概率题中，“不放回抽取”与“同时抽取”在不考虑顺序的情况下是等价的。本题若采用“对立事件法”（1 - 同奇 - 同偶）计算也会非常简便。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若改为“有放回地抽取”，总基本事件变为 $9\times 9=81$，概率则为 $\frac{5\times 4+4\times 5}{81}=\frac{40}{81}$。
2. 逻辑关联：此类题目常与“数字之和为偶数/奇数”结合。注意：和为奇数 $⟺$ 奇偶性不同；和为偶数 $⟺$ 奇偶性相同。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-10 填-古典概型
• 2004-福建文-18 解-古典概型
• 2005-上海卷文-08 填-古典概型