2017-山东卷理-16 解-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换。核心在于恒等变形法、图象变换法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)） 设函数 $f(x)=\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})+\sin (\omega x-\frac{\pi }{2})$，其中 $0<\omega <3$.已知 $f(\frac{\pi }{6})=0$.

(1)求 $\omega$；

(2)将函数 $y=f(x)$ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g(x)$ 在 $[-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$ 上的最小值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（化简与求参）：

• 首先利用两角和与差的正弦公式展开 $\sin (\omega x-\frac{\pi }{6})$。
• 注意到 $\sin (\omega x-\frac{\pi }{2})=-\cos \omega x$。
• 合并同类项后利用辅助角公式将 $f(x)$ 化为 $A\sin (\omega x+\varphi )$ 的形式。
• 代入 $f(\frac{\pi }{6})=0$，结合 $0<\omega <3$ 的范围锁定 $\omega$ 的值。

2. 第二问（变换与最值）：

• 伸缩变换：横坐标变为 2 倍，意味着 $\omega$ 变为原来的 $\frac{1}{2}$。
• 平移变换：向左平移 $\frac{\pi }{4}$，需用 $x+\frac{\pi }{4}$ 替换解析式中的 $x$。
• 求最值：利用整体代换思想，确定 $g(x)$ 内部相角的取值范围，再结合正弦函数的单调性寻找最小值。

✅【答案】

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（1）由和差化积公式，𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥−π3)cosπ6=√3sin(𝜔𝑥−π

✍【详细解析】

Abstract

解： (1)化简 $f(x)$： $f(x)=\sin \omega x\cos \frac{\pi }{6}-\cos \omega x\sin \frac{\pi }{6}-\cos \omega x$ $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \omega x-\frac{1}{2}\cos \omega x-\cos \omega x$ $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \omega x-\frac{3}{2}\cos \omega x$ 提取 $\sqrt{3}$ 得： $f(x)=\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin \omega x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \omega x)=\sqrt{3}\sin (\omega x-\frac{\pi }{3})$。

由题意 $f(\frac{\pi }{6})=0$，得： $\sqrt{3}\sin (\frac{\omega \pi }{6}-\frac{\pi }{3})=0$ 则 $\frac{\omega \pi }{6}-\frac{\pi }{3}=k\pi ,k\in \mathbb{Z}$ 解得 $\omega =6k+2$。 因为 $0<\omega <3$，令 $k=0$，得 $\omega =2$。

(2)由(1)知 $f(x)=\sqrt{3}\sin (2x-\frac{\pi }{3})$。

1. 将横坐标伸长为原来的 2 倍，得到 $y=\sqrt{3}\sin (x-\frac{\pi }{3})$；
2. 再向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 个单位，得到： $g(x)=\sqrt{3}\sin [(x+\frac{\pi }{4})-\frac{\pi }{3}]=\sqrt{3}\sin (x-\frac{\pi }{12})$。

因为 $x\in [-\frac{\pi }{4},\frac{3\pi }{4}]$， 所以 $x-\frac{\pi }{12}\in [-\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{12},\frac{3\pi }{4}-\frac{\pi }{12}]$，即 $x-\frac{\pi }{12}\in [-\frac{\pi }{3},\frac{2\pi }{3}]$。

当 $x-\frac{\pi }{12}=-\frac{\pi }{3}$，即 $x=-\frac{\pi }{4}$ 时，$g(x)$ 取得最小值。 $g(x{)}_{\min }=\sqrt{3}\sin (-\frac{\pi }{3})=\sqrt{3}\times (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{3}{2}$。 故 $g(x)$ 在该区间内的最小值为 $-\frac{3}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助角公式：$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 是解决此类综合题的基石。
• 变换顺序陷阱：在进行平移变换时，必须是对变量 $x$ 本身进行替换。如果解析式是 $y=\sin (2x)$，向左平移 $\varphi$，应变为 $y=\sin [2(x+\varphi )]$。
• 区间最值问题务必先算出相角的范围。本题中相角范围未跨越过最低点 $-1$，故最小值在端点处取得，这是学生容易粗心的地方。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若第二问改为“图象关于 $y$ 轴对称”，则 $\varphi$ 应满足什么条件？
2. 知识关联：函数图象变换不仅适用于三角函数，也适用于指数、对数及幂函数，掌握“左加右减，上加下减”和“横伸缩看系数倒数”的规律至关重要。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-16 单-三角恒等变换
• 2013-新课标II卷文-06 单-三角恒等变换
• 2013-湖南卷文-16 解-三角恒等变换