2017-山东卷理-18 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于分布列法、超几何分布法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年山东卷(理)）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6 名男志愿者 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}, A_{5}, A_{6}$ 和 4 名女志愿者 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}$ .从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.

(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 $A_{1}$ 但不包含 $B_{1}$ 的概率；

(2)用 $X$ 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 $X$ 的分布列与数学期望 $E X$ .

🔍【思路分析】

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第一问（古典概型）：

总情况：从 10 人中随机选 5 人分到甲组，共有 $(5 10)$ 种。

目标情况：甲组必须包含 $A_{1}$ （1选1），且不能包含 $B_{1}$ （即 $B_{1}$ 必须在乙组）。剩下的 4 个甲组名额从剩下的 8 人（除 $A_{1}, B_{1}$ 外）中选取。

第二问（分布列与期望）：

确定 $X$ 取值：女志愿者共 4 人。若 5 人进入乙组， $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$ （注意 $X \leq 4$ 且 $X \geq 5 - 6 = 0$ ）。

计算概率：属于不放回抽样的超几何分布模型， $P (X = k) = \frac{( k 4 ) ( 5 - k 6 )}{( 5 10 )}$ 。

期望计算：利用公式 $E X = \sum x_{i} p_{i}$ 或超几何分布期望公式 $E X = n \cdot \frac{M}{N}$ 。

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1)记“接受甲种心理暗示的志愿者中包含 $A_{1}$ 但不包含 $B_{1}$ ”为事件 $M$ 。从 10 名志愿者中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，共有 $(5 10) = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ 种情况。事件 $M$ 发生，意味着 $A_{1}$ 必选， $B_{1}$ 必不选，需从余下的 8 人中再随机抽取 4 人。共有 $(4 8) = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ 种情况。所以 $P (M) = \frac{70}{252} = \frac{5}{18}$ 。

(2)由题意知 $X$ 的所有可能取值为 $0, 1, 2, 3, 4$ 。其概率计算公式为 $P (X = k) = \frac{( k 4 ) ( 5 - k 6 )}{( 5 10 )}$ ( $k = 0, 1, 2, 3, 4$ )。 $P (X = 0) = \frac{( 0 4 ) ( 5 6 )}{252} = \frac{1 \times 6}{252} = \frac{1}{42}$ ； $P (X = 1) = \frac{( 1 4 ) ( 4 6 )}{252} = \frac{4 \times 15}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$ ； $P (X = 2) = \frac{( 2 4 ) ( 3 6 )}{252} = \frac{6 \times 20}{252} = \frac{120}{252} = \frac{10}{21}$ ； $P (X = 3) = \frac{( 3 4 ) ( 2 6 )}{252} = \frac{4 \times 15}{252} = \frac{60}{252} = \frac{5}{21}$ ； $P (X = 4) = \frac{( 4 4 ) ( 1 6 )}{252} = \frac{1 \times 6}{252} = \frac{1}{42}$ 。

所以 $X$ 的分布列为：

$X$ 0 1 2 3 4
$P$ $\frac{1}{42}$ $\frac{5}{21}$ $\frac{10}{21}$ $\frac{5}{21}$ $\frac{1}{42}$

数学期望 $E X = 0 \times \frac{1}{42} + 1 \times \frac{5}{21} + 2 \times \frac{10}{21} + 3 \times \frac{5}{21} + 4 \times \frac{1}{42}$ $E X = \frac{5 + 20 + 15 + 2}{21} = \frac{42}{21} = 2$ 。（或利用超几何分布期望公式： $E X = n \cdot \frac{M}{N} = 5 \times \frac{4}{10} = 2$ ）。

$X$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{42}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{10}{21}$	$\frac{5}{21}$	$\frac{1}{42}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

模型识别：从含有 $M$ 个特殊元素的 $N$ 个元素中，随机取出 $n$ 个，其中包含特殊元素的个数 $X$ 服从超几何分布。

计算检验：写完分布列后，务必检查各概率之和是否等于 1。

在解答题中，如果使用超几何分布期望公式 $E X = \frac{n M}{N}$ ，建议先说明 $X$ 服从超几何分布，或者用定义法计算以求保险。本题中 $X$ 的取值对称，期望值恰好是取值范围的中点，这也是一种直观验证方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式思考：若改为“有放回地抽取”，则 $X$ 服从二项分布 $B (5, 0.4)$ ，此时 $E X = 5 \times 0.4 = 2$ ，但分布列会有所不同。

知识关联：概率大题常与统计（如列联表、独立性检验）结合。对于志愿者的分组问题，要注意“平均分组”与“指定人数分组”在计数上的区别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

23.04 二项分布与超几何分布

类题演练 (Links)

2000-上海文-10 填-古典概型

2004-福建文-18 解-古典概型

2005-上海卷文-08 填-古典概型

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2017-山东卷理-18 解-古典概型

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