2017-江苏卷-21A 解-圆

本题导读

本题考查圆的切线性质（弦切角定理）以及相似三角形的判定与性质。核心在于构造辅助线连接弦的端点、挖掘直径所对圆周角为直角这一隐含条件，把等积式转化为相似三角形的对应边成比例。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 如图，$AB$ 为半圆 $O$ 的直径，直线 $PC$ 切半圆 $O$ 于点 $C$，$AP\perp PC$，$P$ 为垂足.

(1) 求证：$\angle PAC=\angle CAB$.

(2) 求证：$A{C}^2=AP\cdot AB$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（角相等）：连接 $BC$，由弦切角定理得 $\angle PCA=\angle ABC$；再由直径所对的圆周角是直角与 $AP\perp PC$，在 $△ABC$ 与 $△APC$ 中分别用两锐角互余即可证得 $\angle PAC=\angle CAB$。
2. 第二问（等积式）：由 $A{C}^2=AP\cdot AB$ 反推 $\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{AC}$，即要证 $△APC\sim △ACB$；利用第一问结论与两个直角即可判定相似，进而由对应边成比例得证。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明： (1)证明 $\angle PAC=\angle CAB$ 连接 $BC$。 因为 $PC$ 与半圆相切于点 $C$， 所以由弦切角定理得 $\angle PCA=\angle ABC$。 因为 $AB$ 为直径， 所以 $\angle ACB=90^{\circ }$。 在直角 $△ABC$ 中，$\angle ABC+\angle CAB=90^{\circ }$。 又因为 $AP\perp PC$， 所以在直角 $△APC$ 中，$\angle PCA+\angle PAC=90^{\circ }$。 综上可得 $\angle PAC=\angle CAB$。

(2)证明 $A{C}^2=AP\cdot AB$ 在 $△APC$ 和 $△ACB$ 中， 由(1)知 $\angle PAC=\angle CAB$， 且 $\angle APC=\angle ACB=90^{\circ }$， 所以 $△APC\sim △ACB$。 由相似三角形对应边成比例得 $\frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AB}$。 整理得 $A{C}^2=AP\cdot AB$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 弦切角定理：圆中涉及切线、弦、圆周角的问题，弦切角定理是核心工具；连接弦的两个端点构造圆周角是常用辅助线。
• 相似三角形的寻找：看到平方关系（等积式），优先寻找包含这些线段的相似三角形，把等积式转化为比例式再判定相似。
• 辅助线要注明作法：证明几何题时须说明辅助线（如「连接 $BC$」），并挖掘直径所对圆周角为直角这一隐藏条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考「几何证明选讲」选做题常规题，考查圆的切线与相似三角形。
2. 结论推广：切割线定理 $P{C}^2=PA\cdot PB$（$P$ 在圆外）与本题的等积式同源，均源自相似三角形对应边成比例。
3. 方法推广：证明等积式的一般路径是「等积式 → 比例式 → 找相似三角形 → 证角相等」，其中「找相似」与「证角」是两步关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.07 圆幂定理

类题演练 (Links)

• 1952-全国-06 填-两等圆互过圆心公共弦
• 1952-全国-09 填-祖冲之圆周率
• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比