2017-江苏卷-22 解-二面角

本题导读

本题考查异面直线所成的角。核心在于空间向量坐标法、法向量法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年江苏卷） 如图，在平行六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1\perp$ 平面 $ABCD$，且 $AB=AD=2$，$A{A}_1=\sqrt{3}$，$\angle BAD=120^{\circ }$.

(1)求异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值；

(2)求二面角 $B-A_{1}D-A$ 的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 建立空间直角坐标系：

• 利用 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABCD$，以 $A$ 为原点，$A{A}_1$ 所在直线为 $z$ 轴。
• 底面 $ABCD$ 中 $\angle BAD=120^{\circ }$，在平面 $ABCD$ 内过 $A$ 作 $AD$ 的垂线作为 $x$ 轴，$AD$ 所在直线为 $y$ 轴。

2. 确定关键点坐标：

• 根据几何尺寸算出 $A,B,D,A_1,C_1$ 等点的坐标。注意 $B$ 点在 $xAy$ 平面上的投影位置。

3. 向量运算：

• 第一问：求出方向向量 $\overrightarrow{A_{1}B}$ 和 $\overrightarrow{A{C}_1}$，利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}||\vec{v}|}$ 求解。
• 第二问：分别求出平面 $A_{1}DA$ 和平面 $B{A}_{1}D$ 的法向量 ${\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2$。先求出二面角的余弦值，再通过平方关系 $\sin \varphi =\sqrt{1-{\cos }^2\varphi }$ 转化为正弦值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解： (1)建立坐标系与求向量： 以 $A$ 为原点，在平面 $ABCD$ 内过 $A$ 作 $AD$ 的垂线为 $x$ 轴，$AD$ 所在直线为 $y$ 轴，$A{A}_1$ 所在直线为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系。 由已知 $AB=AD=2,\angle BAD=120^{\circ },A{A}_1=\sqrt{3}$，得相关点坐标： $A(0,0,0),D(0,2,0),A_1(0,0,\sqrt{3})$。 对于点 $B$，在 $xOy$ 平面内，其坐标为 $(2\sin 60^{\circ },2\cos 60^{\circ },0)$，即 $B(\sqrt{3},-1,0)$。 因为 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(\sqrt{3},-1,0)+(0,2,0)=(\sqrt{3},1,0)$， 所以 $C_1$ 点坐标为 $(\sqrt{3},1,\sqrt{3})$。 从而 $\overrightarrow{A_{1}B}=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{A{C}_1}=(\sqrt{3},1,\sqrt{3})$。 设异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{C}_1$ 所成角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{A_{1}B}\cdot \overrightarrow{A{C}_1}|}{|\overrightarrow{A_{1}B}|\cdot |\overrightarrow{A{C}_1}|}=\frac{|(\sqrt{3})(\sqrt{3})+(-1)(1)+(-\sqrt{3})(\sqrt{3})|}{\sqrt{3+1+3}\cdot \sqrt{3+1+3}}=\frac{|3-1-3|}{7}=\frac{1}{7}$ 故异面直线 $A_{1}B$ 与 $A{C}_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{7}$。

(2)求二面角正弦值： 由建系知，平面 $A_{1}DA$ 位于 $yOz$ 平面内，其法向量可取为 $x$ 轴方向向量 ${\vec{n}}_1=(1,0,0)$。 设平面 $B{A}_{1}D$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。 已知 $\overrightarrow{A_{1}B}=(\sqrt{3},-1,-\sqrt{3})$，$\overrightarrow{A_{1}D}=(0,2,-\sqrt{3})$。 则 $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}B}=\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}z=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{A_{1}D}=2y-\sqrt{3}z=0\end{array}$ 令 $z=2$，则 $y=\sqrt{3}$，代入第一式得 $\sqrt{3}x-\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0⟹x=3$。 故 ${\vec{n}}_2=(3,\sqrt{3},2)$。 设二面角 $B-A_{1}D-A$ 的平面角为 $\varphi$，则： $|\cos \varphi |=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|3|}{1\cdot \sqrt{9+3+4}}=\frac{3}{4}$ 因为 $\sin \varphi >0$，则 $\sin \varphi =\sqrt{1-{\cos }^2\varphi }=\sqrt{1-(\frac{3}{4}{)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}$。 故二面角 $B-A_{1}D-A$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{4}$。

💡 【考点总结与回顾】

• 建系技巧：在非直角底面的几何体中，寻找垂直关系是建系的关键。$A{A}_1\perp$ 底面提供了 $z$ 轴，底面中需通过三角关系确定 $x,y$ 轴。
• 坐标易错点：$\angle BAD=120^{\circ }$ 时点 $B$ 的坐标计算需谨慎，建议通过投影法核实。
• 目标转化：二面角通常先用法向量求得余弦值，若要求正弦值，务必进行转换。
• 空间向量法是立体几何的“通用工具”，只要坐标系统无误，剩下的便是严谨的代数运算，有效降低了空间想象的难度。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 1958-北京-07 解-二面角内点到棱的距离
• 1958-湖南-08 解-二面角平分面的等距性