2017-浙江卷-05 单-二次函数

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质，以及二次函数在闭区间上的最值。

📌【题干】

Question

（2017年浙江卷） 若函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值是 $M$，最小值是 $m$，则 $M-m$ ()

A. 与 $a$ 有关，且与 $b$ 有关　　　　　B. 与 $a$ 有关，但与 $b$ 无关

C. 与 $a$ 无关，且与 $b$ 无关　　　　　D. 与 $a$ 无关，但与 $b$ 有关

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $b$ 的几何意义：在二次函数 $f(x)=x^2+ax+b$ 中，参数 $b$ 的变化仅代表函数图象在 $y$ 轴方向上的上下平移。
2. 分析 $M-m$ 的物理意义：$M-m$ 代表的是函数在指定区间内图象最高点与最低点的纵坐标之差，即波形的高度跨度。
3. 平移对差值的影响：当整个图象向上或向下平移 $b$ 个单位时，最高点 $M$ 变为 $M+b$，最低点 $m$ 变为 $m+b$。计算差值时：$(M+b)-(m+b)=M-m$。由此可见，$b$ 在相减过程中被消去，差值与 $b$ 无关。
4. 分析 $a$ 的影响：参数 $a$ 决定了二次函数对称轴 $x=-\frac{a}{2}$ 的位置。对称轴相对于区间 $[0,1]$ 的位置（在区间内、左侧或右侧）直接决定了函数的单调性及最值取点，从而改变 $M-m$ 的大小。因此，$M-m$ 与 $a$ 有关。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=x^2+ax$，则 $f(x)=g(x)+b$。 令 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M_g$，最小值为 $m_g$。 由函数平移性质可知： $M=f(x{)}_{max}=g(x{)}_{max}+b=M_g+b$ $m=f(x{)}_{min}=g(x{)}_{min}+b=m_g+b$ 则 $M-m=(M_g+b)-(m_g+b)=M_g-m_g$。 因为 $g(x)=x^2+ax$ 的解析式中仅含有参数 $a$，其在 $[0,1]$ 上的最值 $M_g$ 和 $m_g$ 显然只与 $a$ 有关。 所以 $M-m$ 的值与 $a$ 有关，与 $b$ 无关。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 常数项的作用：在任何函数 $f(x)+C$ 中，其在区间内的极差 $f(x{)}_{max}-f(x{)}_{min}$ 均与常数 $C$ 无关。
• 对称轴与最值：二次函数 $y=x^2+ax+b$ 的对称轴为 $x=-\frac{a}{2}$。
• 若 $-\frac{a}{2}\le 0$，函数在 $[0,1]$ 递增，$M-m=f(1)-f(0)$。
• 若 $-\frac{a}{2}\ge 1$，函数在 $[0,1]$ 递减，$M-m=f(0)-f(1)$。
• 若 $0<-\frac{a}{2}<1$，最小值在顶点取得，$M-m$ 的表达式会更加复杂，但始终包含 $a$。
• 这种“有关/无关”的逻辑题，通过构造辅助函数（分离常数）可以瞬间看透本质。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：如果问题改为 $M+m$ 与 $a,b$ 的关系呢？

• 此时 $(M_g+b)+(m_g+b)=M_g+m_g+2b$，结果显然与 $a,b$ 均有关。

2. 知识关联：该结论在导数题中也经常用到，即函数 $f(x)$ 与 $f(x)+C$ 具有相同的导函数，其增减规律和极值跨度是一致的。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-江苏卷-10 填-二次函数
• 1954-全国-02 解-二次函数图象定范围
• 1958-北京-08 解-二次函数符号区间与图象