2018-上海卷-06 填-等差数列求和

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及前 n 项和公式。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）记等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_3=0$，$a_6+a_7=14$，则 $S_7=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设基本量：设首项为 $a_1$、公差为 $d$，把 $a_3$、$a_6$、$a_7$ 都用 $a_1$ 与 $d$ 表示。
2. 列方程：由 $a_3=0$ 和 $a_6+a_7=14$ 建立关于 $a_1,d$ 的方程组，解出 $d$（甚至不必解出 $a_1$）。
3. 求 $S_7$：用 $S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}$ 或 $S_7=7a_4$（等差中项）代入求解。

✅【答案】

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$S_7=14$

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$，则 $a_3=a_1+2d=0$，故 $a_1=-2d$。

又 $a_6=a_3+3d=3d$，$a_7=a_3+4d=4d$，由 $a_6+a_7=14$，得 $3d+4d=14$，即 $7d=14$，解得 $d=2$。

于是 $a_1=-4$，$a_7=a_1+6d=-4+12=8$，故

$S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=\frac{7\times (-4+8)}{2}=14$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 基本量法：等差数列问题抓住 $a_1$ 与 $d$ 两个基本量，把条件翻译成方程即可。
2. 等差中项：$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$，本题 $S_7=7a_4$，而 $a_4=a_3+d=2$，也可快速得 $S_7=14$。

📖【试题探源与推广】

Tip

本题是等差数列基本量运算的典型基础题。推广：$S_n$ 是 $n$ 的二次函数（无常数项），利用 $S_7=7a_4$ 的等差中项结论可减少运算量。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 数列的概念与等差数列

类题演练 (Links)

• 2006-全国卷I理-14 填-目标函数的最值求解
• 2015-北京卷理-2
• 2015-广东卷理-6