2018-上海卷-07 填-幂函数

本题导读

本题考查幂函数的定义与性质，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2018年上海卷）已知 $\alpha \in \{-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2,3\}$.若幂函数 $f(x)=x^{\alpha }$ 为奇函数，且在 $(0,+\infty )$ 上递减，则 $\alpha =$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用单调性排除：幂函数 $y=x^{\alpha }$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，则指数 $\alpha <0$。

   • 备选集缩小为 $\{-2,-1,-\frac{1}{2}\}$。

2. 利用奇偶性筛选：

   • 若 $\alpha =-2$，则 $f(x)=\frac{1}{x^2}$ 是偶函数，排除。

   • 若 $\alpha =-1$，则 $f(x)=\frac{1}{x}$ 是奇函数，符合。

   • 若 $\alpha =-\frac{1}{2}$，则 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$，定义域为 $(0,+\infty )$，非奇非偶，排除。

✅【答案】

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-1

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 -1

【解析过程】

由幂函数 $f(x)=x^{\alpha }$ 在 $(0,+\infty )$ 上递减，得 $\alpha <0$。

在给定的集合 $\alpha \in \{-2,-1,-\frac{1}{2},\frac{1}{2},1,2,3\}$ 中，满足条件的 $\alpha$ 有 $-2,-1,-\frac{1}{2}$。

又 $f(x)=x^{\alpha }$ 为奇函数：

• 当 $\alpha =-2$ 时，$f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}$，$f(-x)=f(x)$，为偶函数；

• 当 $\alpha =-1$ 时，$f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}$，$f(-x)=-f(x)$，为奇函数；

• 当 $\alpha =-\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=x^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{x}}$，其定义域为 $(0,+\infty )$，不关于原点对称，不具有奇偶性。

  综上所述，$\alpha =-1$。

  故答案为：-1。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：待补

2. 核心方法：待补

3. 避坑指南：待补

📖【试题探源与推广】

Tip

幂函数 $y=x^{\frac{m}{n}}$ ($m,n$ 互质) 的奇偶性判断准则：

1. $n$ 为偶数：非奇非偶函数（如 $x^{1/2}$）。

2. $n$ 为奇数，$m$ 为奇数：奇函数（如 $x^1,x^3,x^{-1}$）。

3. $n$ 为奇数，$m$ 为偶数：偶函数（如 $x^2,x^{-2}$）。

   掌握此准则可以快速通过参数结构判断性质，无需代入验算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2003-北京卷理-11
• 2006-上海卷理-22 解-复杂多元函数的单调性应用
• 2006-北京卷理-05 单-一次函数的单调性